Đáp án:

`a)`

`@` Xét tứ giác `BFEC` có:

`hat(BFC)=hat(BEC)=90^o` và cùng nhìn cạnh `BC`

`=>` Tứ giác `BFEC` nội tiếp

`@` Xét tứ giác `AFHE` có: `hat(AFH)+hat(AEH)=90^o`

`=>` Tứ giác `AFHE` nội tiếp

`=>` `hat(H_1)=hat(A_1)` (cùng bù `hat(FHE)`)

`@` Xét `ΔCHE` và `ΔCAF` có:

`hat(H_1)=hat(A_1)` (cmt)

`hat(ACF)` là góc chung

`=>` `ΔCHE` $\sim$ `ΔCAF` (g.g)

`=>(CH)/(CA)=(CE)/(CF)`

`=>CH.CF = CE.CA`

`b)` 

Từ `C` kẻ tiếp tuyến `CI` của `(O)`

`=>OC bot CI`

Mà `OC bot ED`

`=>CI////ED`

`=>hat(C_1)=hat(D_1)` (so le trong) (1)

`@` Ta có:

`hat(C_1)` là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung `BC`

`hat(A_1)` là góc nội tiếp `(O)` chắn cung `BC`

`=>hat(C_1)=hat(A_1)` (2)

`@` (1)(2) `=>hat(D_1)=hat(A_1)`

Mà `hat(D_1)` là góc ngoài tại đỉnh `D` của tứ giác `AEDB`

`=>` Tứ giác `AEDB` nội tiếp

`=>hat(ADB)=hat(AEB)=90^o` (cùng nhìn cạnh `AB`)

`=>AD bot BD` hay `AD bot BC`

`@` Xét `ΔABC` có:

`BE` là đường cao thứ nhất

`CF` là đường cao thứ hai

Mà `BE` và `CF` cắt nhau tại `H`

`=>H` là trực tâm `ΔABC`

Mà `AD` là đường cao thứ ba

`=>AD` đi qua `H`

`=>A,H,D` thẳng hàng

`c)`

Gọi `O'` là trung điểm `BC` hay `O'` chính là tâm đường tròn `(BFEC)` 

`@` Ta có: `hat(BKC)=90^o` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn `(O')`)

`=>ΔBKC` vuông tại `K`

Mà `KD` là đường cao, ta có: `KC^2=CD.CB` (3)

`@` Ta có: `hat(M_1)=hat(A_1)` (góc nội tiếp `(O)` chắn cung `BC`)

Mà `hat(A_1)=hat(D_1)` (câu b)

`=>hat(D_1)=hat(M_1)`

`@` Xét `ΔCMD` và `ΔCBM` có:

`hat(MCB)` là góc chung

`hat(D_1)=hat(M_1)` (cmt)

`=>ΔCMD` $\sim$ `ΔCBM` (g.g)

`=>(CM)/(CB)=(CD)/(CM)`

`=>MC^2=CD.CB` (4)

`@` (3)(4) `=>KC=MC`

Mà `MC` là đường trung tuyến của `KL` trong `ΔKML`

`=>ΔMKL` vuông tại `M`