Đáp án + Giải thích các bước giải:

Gọi $\Delta: ax + by + c = 0$ là phương trình đường thẳng hướng tàu $B$ chạy

Ta có: Vị trí toạ độ giữa tàu $B$ là $(5 + 4t; 3 + 3t)$

$\Rightarrow \Delta: \begin {cases} x = 5 + 4t \\ y = 3 + 3t \end {cases}$

$\Leftrightarrow \Delta$ có vector chỉ phương là $(4; 3)$ và đi qua điểm $(5; 3)$
$\Leftrightarrow \Delta$ có vector pháp tuyến là $(-3; 4)$ và đi qua điểm $(5; 3)$
$\Leftrightarrow \Delta: -3(x - 5) + 4(y - 3) = 0$

$\Leftrightarrow \Delta: -3x + 15 + 4y - 12 = 0$

$\Leftrightarrow \Delta: -3x + 4y + 3 = 0$

Khoảng cách ngắn nhất giữa $2$ tàu chính là $d(A, \Delta)$

Mà $A$ có toạ độ được cho bởi công thức $\begin {cases} x = -1 + 25t \\ y = 1 + 8t \end {cases}$

$\Rightarrow d(A, \Delta) = \dfrac{|-3(-1 + 25t) + 4(1 + 8t) + 3|}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}}$

$\Rightarrow d(A, \Delta) = \dfrac{|3 - 75t + 4 + 32t + 3|}{5}$

$\Rightarrow d(A, \Delta) = \dfrac{|10 - 43t|}{5}$

Vậy nếu tàu $A$ đứng yên ở vị trí ban đầu còn tàu $B$ chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa $2$ tàu vào thời điểm $t$ giờ bất kỳ là $\dfrac{|10 - 43t|}{5}$