Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. a) Chứng minh ∆AMH ∽ ∆AHB và 𝐴𝑀. 𝐴𝐵 = 𝐴𝐻2 b) Chứng minh 𝐴𝑀. 𝐴𝐵 = 𝐴𝑁. 𝐴𝐶 c) Cho 𝐴𝐻 = 6𝑐𝑚,𝐵𝐶 = 9𝑐𝑚. Tính diện tích tam giác ABC. d) Tính diện tích tam giác AMN

Đáp án:

a) Xét ΔAMH và ΔAHB có:

+ góc MAH chung

+ góc AMH = góc AHB = 90 độ

=>ΔAMH ~ ΔAHB (g-g)

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\\
 \Rightarrow AM.AB = A{H^2}
\end{array}$

b)

Tương tự ta cm được:

ΔANH ~ ΔAHC (g-g)

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\\
 \Rightarrow AN.AC = A{H^2}
\end{array}$

=> AM.AB=AN.AC

c)

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.6.9 = 27\left( {c{m^2}} \right)$

d) Ta có:

+AM.AB=AN.AC

+ góc A chung

=> ΔAMN ~ ΔACB (c-g-c)

$\begin{array}{l}
\frac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\frac{{MN}}{{BC}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{AH}}{{BC}}} \right)^2} = \frac{4}{9}\\
 \Rightarrow {S_{AMN}} = \frac{4}{9}.27 = 12\left( {c{m^2}} \right)
\end{array}$ 

(Do AMHN là hình chữ nhật nên MN = AH)