$a)$ Vì $AD$ là đường cao ứng với $BC$ (gt)

$\Rightarrow$ $\triangle$ $ADC$ vuông tai $D$ (tính chất đường cao)

$\Rightarrow$ $\widehat{ACD}+\widehat{CAD}=90^o$ (tính chất tam giác vuông)

Tương tự chứng minh ta được: $\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=90^o$

hay $\widehat{EBC}+\widehat{ACD}=90^o$ 

$\Rightarrow$ $\widehat{EBC}=\widehat{DAC}$

Xét $\triangle$ $EBC$ và $\triangle$ $DAC$ có:

+ $\widehat{EBC}=\widehat{DAC}$ (cmt)

+ $\widehat{DCE}$ chung

$\Rightarrow$ $\triangle$ $EBC$ $\backsim$ $\triangle$ $DAC$ (G-G)

$\Rightarrow$ $\dfrac{BE}{AD}=\dfrac{BC}{AC}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow$ $AD.BC=BE.AC$ 

Tương tự chứng minh ta được: $BE.AC=CF.AB$ và $CF.AB=AD.BC$

$\Rightarrow$ $AD.BC=BE.AC=CF.AB$ 

Vậy $AD.BC=BE.AC=CF.AB$ (đpcm)

$b)$ Vì $AD$ là đường cao ứng với $BC$ (gt)

$\Rightarrow$ $\triangle$ $ADB$ vuông tai $B$ (tính chất đường cao)

$\Rightarrow$ $\widehat{ABD}+\widehat{BAD}=90^o$ (tính chất tam giác vuông)

hay $\widehat{ABD}+\widehat{FAH}=90^o$

Tương tự chứng minh ta được: $\widehat{AHF}+\widehat{FAH}=90^o$

$\Rightarrow$ $\widehat{ABD}=\widehat{AHF}$

Mà $\widehat{AHF}=\widehat{DHC}$ ($2$ góc đối đỉnh)

$\Rightarrow$ $\widehat{ABD}=\widehat{DHC}$

Xét $\triangle$ $ABD$ và $\triangle$ $CHD$ có:

+ $\widehat{ADB}=\widehat{CDH}=90^o$ ($3$ đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$)

+ $\widehat{ABD}=\widehat{DHC}$ (cmt)

$\Rightarrow$ $\triangle$ $ABD$ $\backsim$ $\triangle$ $CHD$ (G-G)

$\Rightarrow$ $\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{BD}{HD}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow$ $AD.HD=DB.DC$

Vậy $AD.HD=DB.DC$ (đpcm)

$c)$ Xét $\triangle$ $BHD$ và $\triangle$ $AHE$ có:

+ $\widehat{BDH}=\widehat{AEH}=90^o$ ($3$ đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$)

+ $\widehat{CHD}=\widehat{AHE}$ ($2$ góc đối đỉnh)

$\Rightarrow$ $\triangle$ $BHD$ $\backsim$ $\triangle$ $AHE$ (G-G)

$\Rightarrow$ $\dfrac{BH}{AH}=\dfrac{HD}{HE}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

Xét $\triangle$ $ABH$ và $\triangle$ $EDH$ có:

+ $\dfrac{BH}{AH}=\dfrac{HD}{HE}$ (cmt)

+ $\widehat{AHB}=\widehat{EHD}$ ($2$ góc đối đỉnh)

$\Rightarrow$ $\triangle$ $ABH$ $\backsim$ $\triangle$ $EDH$ (C-G-C)

Vậy $\triangle$ $ABH$ $\backsim$ $\triangle$ $EDH$ (đpcm)

$d)$ Xét $\triangle$ $ABE$ và $\triangle$ $ACF$ có:

+ $\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^o$ ($3$ đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$)

+ $\widehat{EAF}$ chung

$\Rightarrow$ $\triangle$ $ABE$ $\backsim$ $\triangle$ $ACF$ (G-G)

$\Rightarrow$ $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

Xét $\triangle$ $ABC$ và $\triangle$ $AEF$ có:

+ $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}$ (cmt)

+ $\widehat{EAF}$ chung

$\Rightarrow$ $\triangle$ $ABC$ $\backsim$ $\triangle$ $AEF$ (C-G-C)

Tương tự chứng minh ta đươc: $\triangle$ $ABC$ $\backsim$ $\triangle$ $DEC$, $\triangle$ $ABC$ $\backsim$ $\triangle$ $DBF$

$\Rightarrow$ $\triangle$ $DBF$ $\backsim$ $\triangle$ $DEC$

Vậy $ABC$ $\backsim$ $\triangle$ $AEF$, $\triangle$ $DBF$ $\backsim$ $\triangle$ $DEC$

$e)$ Xét $\triangle$ $AFH$ và $\triangle$ $ADB$ có:

+ $\widehat{AFH}=\widehat{ADB}=90^o$ ($3$ đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$)

+ $\widehat{FAH}$ chung

$\Rightarrow$ $\triangle$ $AFH$ $\backsim$ $\triangle$ $ADB$ (G-G)

$\Rightarrow$ $\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AH}{AB}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

Xét $\triangle$ $AHB$ và $\triangle$ $AFD$ có:

+ $\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AH}{AB}$ (cmt)

+ $\widehat{FAH}$ chung

$\Rightarrow$ $\triangle$ $AHB$ $\backsim$ $\triangle$ $AFD$ (C-G-C)

Vậy $\triangle$ $AHB$ $\backsim$ $\triangle$ $AFD$ (đpcm)

$f)$ Vì $\triangle$ $ABC$ $\backsim$ $\triangle$ $DEC$ (cmt)

$\Rightarrow$ $\widehat{EDC}=\widehat{BAC}$ ($2$ góc tương ứng)

Vì $\triangle$ $ABC$ $\backsim$ $\triangle$ $DBF$ (cmt)

$\Rightarrow$ $\widehat{BDF}=\widehat{BAC}$ ($2$ góc tương ứng)

$\Rightarrow$ $\widehat{BDF}=\widehat{EDC}$

$\Rightarrow$ $90^o-\widehat{BDF}=90^o-\widehat{EDC}$

$\Rightarrow$ $\widehat{HDF}=\widehat{HDE}$

$\Rightarrow$ $DH$ là tia phân giác $\widehat{FDE}$ (định nghĩa)

Tương tự chứng minh ta được: $FH$ là tia phân giác $\widehat{DFE}$, $EH$ là tia phân giác $\widehat{FED}$

$\Rightarrow$ $H$ là giao $3$ đường phân giác của $\triangle$ $DFE$

$\Rightarrow$ $H$ cách đều $3$ cạnh của $\triangle$ $DFE$ (tính chất)

Vậy $H$ cách đều $3$ cạnh của $\triangle$ $DFE$ (đpcm)