Cho các số thực $a;b;c \geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$
Tìm giá trị nhỏ nhất: $P=3(ab+bc+ca)-2abc$
Hãy luôn nhớ cảm ơn và vote 5*
nếu câu trả lời hữu ích nhé!
$\bullet$ Tìm `\text{min}` :
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho bộ `3` số `a;b;c>=0`, ta có :
`3=a+b+c>=3\root[3]{abc}<=>abc<=1<=>a^2 b^2 c^2 <=a^3 b^3 c^3 `
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho bộ `3` số `a;b;c>=0`, ta có :
`P=3(ab+bc+ca)-2abc>=3.3\root[3]{a^2 b^2 c^2}-2abc\geq 3.3\root[3]{a^3 b^3 c^3}-2abc=9abc-2abc=7abc>=0`
Dấu "=" xảy ra `<=>a=b=0;c=3` và các hoán vị của chúng
Vậy `\text{min}_P =3<=>a=b=0;c=3` và các hoán vị của chúng
$\bullet$ Tìm `\text{max}` :
Áp dụng bất đẳng thức Schur cho bộ `3` số `a;b;c>=0`, ta có :
`abc>=(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(a+b+c-2a)(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)=(3-2a)(3-2b)(3-2c)`
`<=>abc>= 12ab+12bc+12ca-18a-18b-18c-8abc+27`
`<=>9abc>=12ab+12bc+12ca-27`
`<=>3abc>=4ab+4bc+4ca-9`
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho bộ `3` số `a;b;c>=0`, ta có :
`9=(a+b+c)^2 >=3(ab+bc+ca)<=>ab+bc+ca<=3`
Có : `3P=9(ab+bc+ca)-2.3abc<=9(ab+bc+ca)-2(4ab+4bc+4ca-9)=ab+bc+ca+18<=3+18=21<=>P<=7`
Dấu "=" xảy ra `<=>a=b=c=1`
Vậy `\text{max}_P =7<=>a=b=c=1`
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
Ta có: `P=3(ab+bc+ca)-2abc`
Ta có: `(ab+bc+ca)^2=\sum_(cyc)(ab)^2+2abc(a+b+c)>=0+2abc.3=6abc`
`<=>3(ab+bc+ca)>=3\sqrt(6abc)`
Có `a,b,c>=0=>abc>=0=>t=\sqrt(abc)>=0`
`=>P>=-2t^2+3\sqrt(6)t`
`P>=-2(t-(3\sqrt(6))/4)^2+27/4`
`P>=-2((3\sqrt(6))/4-t)^2+27/4>=-2((3\sqrt(6))/4-0)^2+27/4=0`
Dấu "=" xảy ra khi: `a=b=0,c=3` và các hoán vị
Vậy Min `P` là `0` khi `a=b=0,c=3` và các hoán vị
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
Bảng tin
176
2477
85
ê lúc min `3=a+b+c>=3\root[3]{abc}` ấ lúc này dấu "=" xảy ra tại `a=b=c` mà