Cho A = a + b + c và B = (a + 2021)^3 + (b - 2022)^3 + (c + 2023)^3, trong đó a,b,c là các số nguyên. Chứng minh rằng A `\vdots` 3 khi và chỉ khi B `\vdots` 3
Hãy luôn nhớ cảm ơn và vote 5*
nếu câu trả lời hữu ích nhé!
`\color{yellow}{Duck}`
------
Đặt `x = a + 2021`
`y = b - 2022`
`z = c + 2023`
Với `x; y; z in ZZ`
Khi đó ta có:
`A = a + b + c`
`= (a + 2021) + (b - 2022) + (c + 2023) - 2022`
`= x + y + z - 2022`
Và `B = x^3 + y^3 + z^3`
`=>` `B - A = (x^3 - x) + (y^3 - y) + (z^3 - z) + 2022`
Mặt khác:
Với `n in N` thì `n^3 - n = n(n - 1)(n + 1) \vdots 1.2.3 = 6`
`=> n^3 - n \vdots 3`
`=> [(x^3 - x) + (y^3 - y) + (z^3 - z) + 2022] \vdots 3`
`=> B - A \vdots 3`
`=> A \vdots 3 <=> B \vdots 3` (đpcm)
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
Ta có:
`2021` `\equiv` `-1 (mod 3)`
`=> a + 2021` `\equiv` `a-1 (mod 3)`
`=> (a+2021)^3` `\equiv` `(a-1)^3 (mod 3)`
CMTT: `(b-2022)^3` `\equiv` `b^3 (mod 3)`
`(c+2023)^3` `\equiv` `(c+1)^3 (mod 3)`
`B = (a + 2021)^3 + (b - 2022)^3 + (c + 2023)^3 \equiv (a-1)^3 + b^3 + (c+1)^3 (mod 3) (1)`
Lại có:
`(a-1)^3 + b^3 + (c+1)^3`
`= [(a-1)^3 + (c+1)^3] + b^3`
`= (a+c)[(a-1)^2 - (a-1)(c+1) + (c+1)^2] + b^3`
`= (a+c)[(a-1)^2 + 2(a-1)(c+1) + (c+1)^2] - 3(a-1)(c+1)(a+c) + b^3`
`= (a+c)^3 + b^3- 3(a-1)(c+1)(a+c) `
`= (a+b+c)[(a+c)^2 - b(a+c) + b^2] - 3(a-1)(c+1)(a+c)`
`= (a+b+c)^3 - 3b(a+c)(a+b+c) - 3(a-1)(c+1)(a+c) (2)`
Do `-3b(a+c)(a+b+c) \vdots 3 AA a,b,c in ZZ`
`-3(a-1)(c+1)(a+c) \vdots 3 AA a, c in ZZ`
`=> - 3b(a+c)(a+b+c) - 3(a-1)(c+1)(a+c) \vdots 3 AA a,b,c in ZZ (3)`
Từ `(1),(2)` và `(3)`
`=> B` `\equiv` `(a+b+c)^3`
`=> A \vdots 3 <=> B \vdots 3`
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
hahaha
hôm nay m ko đi đâu à sao có thời gian cày thế
Lần đầu thấy bn này onl =)
Lần đầu thấy bn này onl =) => haha bn này nghìn năm on lần
Bảng tin