Đáp án `+` Giải thích các bước giải: không chắc đúng đâu ạ

 Chứng minh bất đẳng thức `a^2 - ab + b^2 >= 1/3(a^2 + ab + b^2)`

`<=> 3a^2 - 3ab + 3b^2 >= a^2 + ab + b^2`

`<=> 2a^2 - 4ab + 2b^2 >= 0`

`<=> 2(a - b)^2 >= 0` (luôn đúng)

________________________________________________________________________

Ta có:

`a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) >= 1/3(a + b)(a^2 - ab + b^2)`

-

`=> (a^3 + b^3)/(a^2 + ab + b^2) >= (1/3(a + b)(a^2 + ab + b^2))/(a^2 + ab + b^2) = (a + b)/3`

Tương tự ta được:

`(b^3 + c^3)/(b^2 + bc + c^2) >= (b + c)/3`

`(c^3 + a^3)/(c^2 + ca + a^2) >= (c + a)/3`

Do đó `P >= (a + b)/3 + (b + c)/3 + (c + a)/3 = 2/3(a + b + c)`

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương `a,b,c` ta có:

`a + b + c >= 3 . \root{3}{abc} = 3` (vì `abc = 1`)

`=> P >= 2/3 . 3 = 2`

Dấu `"="` xảy ra `<=> a = b = c = 1`

Vậy GTNN của `P` là `2` tại `a = b = c = 1`