Bài 3. (3,5 điểm) Cho $\triangle$ABC vuông tại A có /C = 30, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. a) Chứng minh $\triangle$AHB= $\triangle$AHD. b) Chứng minh AABD là tam giác đều. c) Từ C kẻ CE vuông góc với đường thẳng AD(E < AD). Chứng minh DE = HB. d) Từ D kẻ DF vuông góc với AC (F thuộc AC), I là giao điểm của CE và AH. Chứng minh ba điểm I, D, F thẳng hàng.

**a)

Xét hai tam giác AHB và AHD, ta có:

* AH là cạnh chung

* HB = HD (gt)

* ∠AHB = ∠AHD = 90°

Vậy ΔAHB = ΔAHD (c.g.c)

**b) 

Vì ΔAHB = ΔAHD nên AB = AD (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác, ∠BAC = 90° và ∠C = 30° nên ∠B = 60°.

Vậy ΔABD có AB = AD và ∠B = 60° nên ΔABD là tam giác đều.

**c) 

Xét hai tam giác vuông DEC và HBA, ta có:

* ∠DEC = ∠HBA = 90°

* ∠DCE = ∠HAB (cùng phụ với ∠BCA)

* AC = AB (ΔABD đều)

Vậy ΔDEC = ΔHBA (g.c.g)

Suy ra DE = HB.

**d)

Xét hai tam giác vuông DFI và HCI, ta có:

* ∠DFI = ∠HCI = 90°

* ∠FDI = ∠IHC (cùng phụ với ∠HDI)

* DI là cạnh chung

Vậy ΔDFI = ΔHCI (g.c.g)

Suy ra ∠DIF = ∠DIC.

Mà ∠DIF + ∠DIC = 180° nên ∠DIF = ∠DIC = 90°.

Vậy ba điểm I, D, f thẳng hàng