cmr n^2+n+2 không chia hết cho 15 (giải bằng 2 cách) với mọi n thuộc N giúp em với ạ

Đáp án + Giải thích các bước giải:

- Cách 1:

• Ta có

$n^{2}$ + n + 2 

= n(n + 1) + 2

• Muốn  n(n + 1) + 2 chia hết cho 15

 n(n + 1) + 2 phải chia hết cho 3.

• Với n = 3k (k ∈ N)

      n(n + 1) + 2 = 3k(3k + 1) + 2 

      Mà 3k(3k + 1) chia hết cho 3.

             2 không chia hết cho 3.

=> 3k(3k + 1) + 2 không chia hết cho 3.

• Với n = 3k - 1 (k ∈ N)

       n(n + 1) + 2 = (3k - 1)(3k - 1 +1) + 2 

                           = (3k - 1).3k + 2 

 Mà (3k -1).3k chia hết cho 3.

             2 không chia hết cho 3.

=> (3k -1 ).3k + 2 không chia hết cho 3

• Với n = 3k - 2 (k ∈ N)

      n(n + 1) + 2 = (3k - 2)(3k -2 + 1) + 2

                         = (3k - 2)(3k - 1) + 2

                         = 9$k^{2}$ - 9k + 2 + 2

                         =  9$k^{2}$ - 9k + 4.

Mà 9$k^{2}$ - 9k chia hết cho 3

       4 không chia hết cho 3.

=> (3k - 2)(3k - 1) + 2 không chia hết cho 3.

Vậy tóm lại, với mọi n thì $n^{2}$ + n + 2 đều không chia hết cho 3 nên không thể chia hết cho 15.

- Cách 2:

$n^{2}$ + n + 2 chia hết cho 15 thì:

4($n^{2}$ + n + 2 ) chia hết cho 15

=> 4$n^{2}$ + 4n + 8 chia hết cho 15.

=> $(2n+1)^{2}$ + 7 chia hết cho 15.

• Để $(2n+1)^{2}$ + 7 chia hết cho 15 thì 

$(2n+1)^{2}$ + 7 phải chia hết cho 5 

=> $(2n+1)^{2}$ + 7 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

• Mà 2n + 1 là số lẻ (số lẻ bình phương có chữ số tận cùng là 1,5,9) nên $(2n+1)^{2}$có chữ số tận cùng là 1,5,9 

• Suy ra $(2n+1)^{2}$ + 7 có chữ số tận cùng là 8, 2, 6 nên không chia hết cho 5.

• Vậy suy ra được $n^{2}$ + n + 2 không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 15.

Chúc bạn học tốt !

Tóm tắt cách giải:

-c1: chứng minh biểu thức không chia hết cho 3.

-c2: chứng minh biểu thức không chia hết cho 5.