tìm tất cả các số nguyên dương n để n=d1^2+d2^2+d3^2+d4^2 trong đó d1,d2,d3,d4 là 4 ước nguyên dương nhỏ nhất của n và d1<d2<d3<d4

Đáp án:

Xét `d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2=n`

Do 4 số trên là bốn ước nguyên dương nhỏ nhất 

`⇒ d_1=1`

Xét TH :

`d_2 \vdots 2 ⇒ d_2 = 2 `

Vậy ta có `d_3^2+d_4^2+5 =n⇔d_3^2+d_4^2=n-5`

Gọi `(d_3;d_4)=a ⇒ d_3^2 \vdots a ; d_4^2 \vdots a`

`⇒n-5 \vdots a ⇒ a ∈ {1;5}` (do `n \vdots d_3 \vdots a`)

Xét `a =5 ⇒ n \vdots 5 ⇒ n\vdots 10` do `n \vdots 2`

Ta tìm được duy nhất `130` là số thoả mãn.

Xét `a=1⇒ d_3 , d_4` nguyên tố cùng nhau ⇒ `d_3 , d_4` sẽ phải khác tính chẵn lẻ thì `n \vdots 2`

⇒ Vẫn phải chia hết cho `10`.

Xét `d_2` lẻ `⇒ `d_3, d_4` lẻ

Mà ta có `n -d_2^2` sẽ chẵn ⇒ `d_3 ,d_4` khác tính chẵn lẻ.Mâu thuẫn

Vậy ta tìm được duy nhất `130` là số thoả mãn.