Cho phương trình bậc 2 ẩn x (m+1)$x^{2}$ +2(m+1)x+m=0 (với m là tham số). Tìm m để: a) Phương trình có 2 nghiệm đều âm; b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều dương; c) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu. B4:Cho phương trình 2$x^{2}$ -2mx-1=0 a)chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}$ và $x_{2}$ với mọi m b)tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai nghiệm $x_{1}$,$x_{2}$ và thỏa mãn $x_{1}$ < $x_{2}$ và |$x_{1}$|-|$x_{2}$|=2023

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

(m+1)x²+2(m+1)x+m=0

(a=m+1; b=2(m+1)'c=m)

áp dụng hệ thức vi-ét ta có

$\begin{cases} S=\dfrac{-b}{a}=-2\\P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m}{m+1}\end{cases}$

phương trình có 2 nghiệm âm khi:

$\begin{cases} Δ'>0\\S<0\\P>0 \end{cases}$

⇔$\begin{cases} (m+1)²-m(m+1)>0\\-2<0 (TM)\\\dfrac{m}{m+1}>0\end{cases}$

⇔$\begin{cases} m²+2m+1-m²-m>0\\-2<0 (TM)\\ m\ne -1\end{cases}$

⇔$\begin{cases}m>-1 \\-2<0 (TM)\\m\ne -1 \end{cases}$

⇒ m>-1

vậy pt có 2 nghiệm cùng âm khi m > -1

b)

phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều dương khi:

$\begin{cases} Δ'>0\\S>0\\P>0 \end{cases}$

⇔$\begin{cases} Δ'>0\\-2>0 ( vô lí)\\P>0 \end{cases}$

⇒ không có giá trị nào để phương trình có 2 nghiệm dương

c)

phương trình có 2 nhiệm phân biệt trái dấu khi

a.c<0

⇔m(m+1)<0

mà m< m+1

⇒m<0 và m+1>0

⇔ m<0 và m>-1

vậy để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì

-1<m<0

B4

2x²-2mx-1=0

(a=2;b=-2m;c=-1)

ta có a.c=-2<0

⇒ pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

áp dụng hệ thức vi ét ta có

$\begin{cases} S=-\dfrac{b}{a}=m\\P=\dfrac{c}{a}=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$

vì pt có 2 nghiệm trái dấu mà x1<x2⇒ x1<0; x2>0

⇒ |x1|-|x2|=2023

⇔ -(x1+x2)=2023

⇔-m=2023

⇔m=-2023