Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển a)$(\dfrac{x}{2}$ $+$ $\dfrac{4}{x}$)$^{4}$ b) $(2x^{2}$ $-$ $\dfrac{1}{ x^{2}}$)$^{4}$ c) $(x^{3}$ $-$ $\dfrac{1}{ x^{2}}$)$^{5}$ Giải bằng CTTQ ạ

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a)`

`(x/2+4/x)^{4}`

`=C_{4}^{0}.(x/2)^{4}.(4/x)^{0}+C_{4}^{1}.(x/2)^{3}. (4/x)^{1}+C_{4}^{2}.(x/2)^{2}.(4/x)^{2}+C_{4}^{3}.(x/2)^{1}.(4/x)^{3}+C_{4}^{4}.(x/2)^{0}.(4/x)^{4}`

`=(x/2)^{4}+4.(x/2)^{3}. 4/x+6. (x/2)^{2}. (4/x)^{2}+4. x/2. (4/x)^{3}+1.1.(4/x)^{4}`

`=\frac{x^{4}}{16}+4.\frac{x^{3}}{8}. 4/x+6.(x/2. 4/x)^{2}+4. x/2. \frac{64}{x^{3}}+\frac{256}{x^{4}}`

`=\frac{x^{4}}{16}+2x^{2}+24+\frac{128}{x^{2}}+\frac{256}{x^{4}}`

`->` Hệ số của số hạng không chứa `x` là `24`

`b)`

`(2x^{2}-1/x^{2})^{4}`

`=C_{4}^{0}.(2x^{2})^{4}.(-1/x^{2})^{0}+C_{4}^{1}.(2x^{2})^{3}. (-1/x^{2})^{1}+C_{4}^{2}.(2x^{2})^{2}.(-1/x^{2})^{2}+C_{4}^{3}.(2x^{2})^{1}.(-1/x^{2})^{3}+C_{4}^{4}. (2x^{2})^{0}.(-1/x^{2})^{4}`

`=16x^{8}-4.8x^{6}. 1/x^{2}+6.4x^{4}. 1/x^{4}-8x^{2}. 1/x^{6}+1/x^{8}`

`=16x^{8}-32x^{4}+24-8/x^{4}+1/x^{8}`

`->` Hệ số của số hạng không chứa `x` là `24`

`c)`

`(x^{3}-1/x^{2})^{5}`

`=C_{5}^{0}.(x^{3})^{5}.(-1/x^{2})^{0}+C_{5}^{1}.(x^{3})^{4}.(-1/x^{2})^{1}+C_{5}^{2}.(x^{3})^{3}.(-1/x^{2})^{2}+C_{5}^{3}.(x^{3})^{2}.(-1/x^{2})^{3}+C_{5}^{4}.(x^{3})^{1}.(-1/x^{2})^{4}+C_{5}^{5}.(x^{3})^{0}.(-1/x^{2})^{5}`

`=x^{15}-5.x^{12}. 1/x^{2}+10.x^{9}. 1/x^{4}-10.x^{6}. 1/x^{6}++5.x^{3}. 1/x^{8}-1/x^{10}`

`=x^{15}-5x^{10}+10x^{5}-10+5/x^{5}-1/x^{10}`

`->` Hệ số của số hạng không chứa `x` là `-10`

Ta áp dụng công thức : Nhị thức Newton ta được:

$(*)$

`(x+y)^{4}=C_{4}^{0}.x^{4}.y^{0}+C_{4}^{1}.x^{3}.y^{1}+C_{4}^{2}.x^{2}.y^{2}+C_{4}^{3}.x.y^{3}+C_{4}^{4}.x^{0}.y^{4}`

`=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}`

$(*)$

`(x+y)^{5}=C_{5}^{1}.x^{5}.y^{0}+C_{5}^{2}.x^{4}.y^{1}+C_{5}^{3}.x^{3}.y^{2}+C_{5}^{4}.x.y^{4}+C_{5}^{5}.x^{0}.y^{5}`

`=x^{5}+10x^{4}y+10x^{3}y^{2}+5xy^{4}+y^{5}`