cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. chứng minh n^2 - 2041 chia hết cho 24

mục tiêu: cần chứng minh n^2+2041 chia hết cho 24 thì cần chứng minh n^2+2041 chia hết cho 3 và 8

  ta có: n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên n có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k ∈ N*)

+)Nếu n = 3k+1 thì  n^2 = (3k+1)(3k+1) hay  n^2  = 3k(3k+1)+3k+1=> n^2 chia 3 dư 1

+)Nếu n = 3k+2 thì  n^2 = (3k+2)(3k+2)  hay  n 2 = 3k(3k+2)+2(3k+2) =3k(3k+2)+6k+3+1 =>  n^2  chia cho 3 dư 1.

     vậy n^2 chia 3 dư 1 với mọi n thỏa mãn điều kiện đề bài => n^2 = 3k+1

=> n^2+2041= 3k+1+2041=3k+2042 chia hết cho 3 (1)

    ta cần chứng minh n^2+2041 chia hết cho 8. Mà 2041 chia 8 dư 1 => cần chứng minh n^2 chia 8 dư 1 => cần chứng minh n^2-1 chia hết cho 8 

    ta có: n^2-1 = n^2+n-1-n=n(n+1)-(n+1)=(n+1)(n-1). Mà n là snt lớn hơn 3 nên n-1 và n+1 là 2 số chẵn liên tiếp.

    lại có:  Hai số chẵn liên tiếp có dạng là 2k và 2(k+1) với k là số nguyên .
Tích hai số này là 4k(k+1) . Ta có k(k+1) luôn chia hết cho 2 => 4k(k+1) luôn chia hết cho 8 

=> (n+1)(n-1) chia hết cho 8 hay n^2-1 chia hết cho 8 =>n^2 chia 8 dư 1 => n^2+2041 chia hết cho 8 (vì 2041 chia 8 dư 7)    (2)

   Mặt khác (3,8) =1    (3)

  từ (1),(2),(3) => n^2+2041 chia hết cho 24

                 cho mình câu trả lời hay nhất nha!!!