Cho hai đường tròn (O;4cm) và (O;5cm) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng OO cắt đường tròn tâm O tại điểm P (O nằm giữa P và O). Tia PA cắt đường tròn (O) tại Q. Biết OO=6cm a. Chứng minh góc AQB = góc AOO b Chứng minh tam giác AOO đồng dạng với tam giác BPQ c. Chứng minh AP=2AQ d. Tính PQ

Giải thích các bước giải:

a.Vì $(O)\cap (O')=AB$

$\to OO'$ là trung trực $AB$

$\to O'O$ là phân giác $\widehat{AO'B}$

$\to \widehat{AQB}=\dfrac12\widehat{AO'B}=\widehat{AO'O}$

b.Xét $\Delta AOO', \Delta BPQ$ có:

$\widehat{AO'O}=\widehat{AQB}=\widehat{PQB}$

$\widehat{AOO'}=\dfrac12\widehat{AOB}=\widehat{APB}=\widehat{BPQ}$

$\to \Delta AOO'\sim\Delta BPQ(g.g)$

c.Gọi $OO'\cap (O)=F, F\ne P$

$\to O'F=OO'-OF=2, PF$ là đường kính của $(O)\to \widehat{FAP}=90^o\to FA\perp AP$

Gọi $C, D$ là trung điểm $AP, AD$

$\to OC\perp AP, O'D\perp AQ$

$\to OC//FA//O'D$

$\to \dfrac{AC}{AD}=\dfrac{OF}{FO}=2$

$\to AC=2AD$

$\to \dfrac12AP=AQ$

$\to AP=2AQ$

d.Áp dụng công thức herong ta tính được:

$S_{AOO'}=\sqrt{\dfrac{4+5+6}2\cdot \dfrac{-4+5+6}2\cdot \dfrac{4-5+6}2\cdot \dfrac{4+5-6}2}=\dfrac{15\sqrt7}4$

Gọi $OO'\perp AB=E\to E$ là trung điểm $AB$

$\to \dfrac12AE\cdot OO'=\dfrac{15\sqrt7}4$

$\to\dfrac12 AE\cdot 6=\dfrac{15\sqrt7}4$

$\to AE=\dfrac{5\sqrt7}4$

$\to EP\cdot EF=EA^2=\dfrac{175}{16}$

$\to EP(8-EP)=\dfrac{175}{16}$

$\to EP=\dfrac{25}4$ vì $EP>PO=4$

$\to AP=\sqrt{AE^2+PE^2}=5\sqrt2$

$\to PQ=\dfrac32AP=\dfrac{15\sqrt2}2$