cho a,b thuộc nờ. 2a^2+a=3b^2+b. cmr 2a+2b+1 và 3a+3b+1 là số chính phương

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$2a^2+a=3b^2+b$
$\to 2a^2-2b^2+a+b=b^2$

$\to 2(a^2-b^2)+(a+b)=b^2$
$\to 2(a-b)(a+b)+(a+b)=b^2$

$\to (2a-2b)(a+b)+(a+b)=b^2$

$\to (a+b)(2a-2b+1)=b^2$

Gọi $UCLN(a+b, 2a-2b+1)=d, d\in N^*$

$\to \begin{cases}a+b\quad\vdots\quad d \\ 2a-2b+1\quad\vdots\quad d\end{cases}$

$\to \begin{cases}a+b\quad\vdots\quad d \\ 2(a+b)-(4b-1)\quad\vdots\quad d\end{cases}$

$\to \begin{cases}a+b\quad\vdots\quad d \\ 4b-1\quad\vdots\quad d\end{cases}$

Mà $b^2=(a+b)(2a-2b+1)$

$\to b^2\quad\vdots\quad d^2$

$\to b\quad\vdots\quad d$

$\to 4b\quad\vdots\quad d$

$\to 1\quad\vdots\quad d$ vì $4b-1\quad\vdots\quad d$

$\to d=1$

$\to (a+b , 2a-2b+1)\quad\vdots\quad d$

Lại có $(a+b)(2a-2b+1)=b^2$ là số chính phương 

$\to a+b, 2a-2b+1$ là số chính phương

Ta có:

$2a^2+a=3b^2+b$

$\to 3a^2+a=a^2+3b^2+b$

$\to 3a^2-3b^2+a+b=a^2$

$\to 3(a^2-b^2)+(a+b)=a^2$

$\to 3(a-b)(a+b)+(a+b)=a^2$

$\to (3a-3b)(a+b)+(a+b)=a^2$

$\to (3a-3b+1)(a+b)=a^2$

Do $a+b$ là số chính phương

$\to 3a-3b+1$ là số chính phương

$\to đpcm$