Tìm cực trị của hàm hai biến sau: `z = x^{3} + 3xy^{2} - 30x - 18y`

`z=x^3+3xy^2-30x-18y`

`{(z_x^'=3x^2+3y^2-30),(z_y^'=6xy-18):}=>{(z_(x^2)^″=6x),(z_(y^2)^″=6x),(f_(xy)^″=6y):}`

`=>Delta=|[6x,6y],[6y,6x]|=36x^2-36y^2`

Xét hệ phương trình:

`{(z_x^'=0),(z_y^'=0):}<=>{(3x^2+3y^2-30=0),(6xy-18=0):}`

`<=>(x,y) in {(-3,-1);(-1,-3);(1,3);(3,1)}`

Tại `(-3,-1)` ta có:

`Delta=288>0`

`z_(x^2)^″=-18<0`

`=>z` đạt cực đại tại `(-3,-1), z_(CĐ)=72`

Tại `(-1,-3)` ta có:

`Delta=-288`

`=>z` không đạt cực trị tại `(-3,-1)`

Tại `(1,3)` ta có:

`Delta=-288`

`=>z` không đạt cực trị tại `(1,3)`

Tại  `(3,1)` ta có:

`Delta=288`

`z_(x^2)^″=18>0`

`=>z` đạt cực đại tại `(3,1), z_(CT)=-72`