Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi N là trung điểm của AC, K đối xứng với H qua N. a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình chữ nhật. b) BK cắt AH tại O, cắt AC tại I. Chứng minh BC = 4. NO c) Chứng minh: 2 AN2= 3 NI. AC

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $AC\cap HK=N$ là trung điểm mỗi đường

$\to AHCK$ là hình bình hành

Mà $AH\perp CB$

$\to AHCK$ là hình chữ nhật
b.Từ câu a $\to AK//CH, AK=HC$

Vì $\Delta ABC$ cân tại $A, AH\perp BC\to H$ là trung điểm $BC\to HB=HC$

$\to AK//HB, AK=HB$

$\to AKHB$ là hình bình hành

$\to AH\cap BK=O$ là trung điểm mỗi đường

Mà $N$ là trung điểm $AC\to ON$ là đường trung bình $\Delta HCA$

$\to ON=\dfrac12HC=\dfrac12\cdot\dfrac12BC=\dfrac14BC$

c.Ta có: $N, O$ là trung điểm $KH, HA$ và $AN\cap KO=I$

$\to I$ là trọng tâm $\Delta HAK$

$\to AN=3NI$

Mà $2AN=AC$

$\to 2AN\cdot AN=3NI\cdot AC$

$\to 2AN^2=3NI\cdot AC$