Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi Ax và By là các tia vuông góc với AB ( Ax; By và nửa đường tròn thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn nó cắt Ax; By theo thứ tự ở C và D. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh: a)AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. b)AD cắt BC tại N. Chứng minh MN // BD c)Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên đường tròn.

a) Vì Ax vuông góc với OA ( do O ∈ AB , đường tròn (O) có đường kính AB ) mà A thuộc đường tròn (O) ⇒ Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) 

Chứng minh tương tự By là tiếp tuyến của đường tròn (O) 

Vì tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) tại C 

⇒ CA = CM ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) 

Xét ΔAOC và ΔMOC có 

OC chung 

AC = AM ( chứng minh trên ) 

OA = OM ( bán kính của đường tròn (O) ) 

⇒ΔAOC = ΔMOC( c.c.c ) 

⇒∠ AOC = ∠MOC ( tương ứng )  

Vì tiếp tuyến By của đường tròn cắt tiếp tuyến tại M của đường tròn ở D 

⇒DM = DB ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau )

Xét ΔMOD và ΔBOD có :

OD chung 

DM = DB ( chứng minh trên ) 

OM = OB ( bán kính của đường tròn (O) ) 

⇒ΔMOD = ΔBOD ( c.c.c ) 

⇒ ∠MOD = ∠ BOD 

Có ∠AOC + ∠MOC + ∠BOD + ∠MOD = 180(độ )

⇒2×∠MOC + 2×∠MOD = 180 (độ )

⇒ 2 × ( ∠MOC + ∠MOD ) = 180 (độ) 

⇒2×∠ COD = 180 (độ ) 

⇒ ∠ COD = 90 (độ ) 

⇒ ΔCOD vuông tại O 

⇒ C , O , D cùng thuộc đường tròn đường kính CD mà I là trung điểm CD 

⇒ C , O , D cùng thuộc đường tròn tâm I có đường kính CD (1 ) 

Mặt khác ta có AC⊥AB ; BD⊥AB ⇒ AC//BD ⇒  ABCD là hình thang 

Xét hình thang ABCD có O là trung điểm AB ( do AB là đường kính đường tròn tâm (O) ) ; I là trung điểm CD ( giả thiết ) 

⇒ OI là đường trung bình của hình thang ABCD 

⇒ OI // BD mà BD ⊥ AB 

⇒OI ⊥ AB tại O (2) 

Từ (1) , (2) có AB ⊥ OI tại O mà O thuộc đường tròn đường kính CD có tâm là I 

⇒ AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD ( điều phải chứng minh ) 

b) Xét ΔANC và ΔDNB có 

∠ANC = ∠BND ( đối đỉnh ) 

∠CAN= ∠BDN ( so le trong do AC // BD ) 

⇒ΔANC đồng dạng với ΔDNB ( g.g ) 

⇒$\frac{CN}{NB}$ =$\frac{AC}{BD}$ mà AC = CM ; BD = DM ( chứng minh trên ) 

⇒$\frac{CN}{NB}$ =$\frac{CM}{MD}$

Xét ΔCBD có MN cắt CD , CB lần lượt tại M và N mà $\frac{CN}{NB}$ =$\frac{CM}{MD}$ 

⇒ MN // BD ( định lý Ta-lét) ( điều phải chứng minh ) 

c) Ta có ΔAOC=ΔMOC ( câu a ) 

⇒∠CAO = ∠ CMO mà ∠CAO = 90 (độ ) ( do Ax⊥AB)

⇒∠CMO = 90 (độ) 

⇒ OM ⊥ CD tại M

Xét ΔCOD vuông tại O (chứng minh trên ) có OM ⊥ CD tại M 

⇒ CM × MD = OM² ( hệ thức lượng trong tam giác vuông ) 

mà CM = AC ; DM = BD ( chứng minh trên ) 

⇒ AC × BD = OM² ( không đổi do OM là bán kính của đường tròn (O) ) 

⇒điều phải chứng minh