Chứng minh rằng : Nếu điểm M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB thì M cách đều A và B. Nếu điểm M cách đều A và B thì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

`a)` cm nếu `M` thuộc trung trực `AB` thì `MA=MB`

Giả sử đường trung trực `AB` cắt `AB` tại `K`

Vì `MK` là trung trực `AB`

`=>` `KA=KB` `(` tính chất đường trung trực `)`

`=>` `MK` $\bot$ `AB` tại `M`

Xét $\triangle$ vuông `AKM` và $\triangle$ vuông `BKM` có :

$\begin{cases} KA=KB(cmt)\\MK chung \end{cases}$

`=>` $\triangle$ vuông `AKM` và $\triangle$ vuông `BKM` `(cgv-cgv)`

`=>` `MA=MB` `(2` cạnh tương ứng`)`

`b)` cm nếu `M` cách đều `A` và `B` thì M thuộc trung trực `AB`

Do `M` cách đều `A` và `B` `=>` `MA=MB`

Giả sử `MK` là phân giác $\widehat{AMB}$ `M` thuộc `AB`

Xét $\triangle$ `AMK` và $\triangle$ `BMK` có :

$\begin{cases} MA=MB(gt)\\\widehat{AMK}=\widehat{BMK}(gt)\\MK chung \end{cases}$

`=>` $\triangle$ `AMK` `=` $\triangle$ `BMK` `(c.g.c)`

`=>` `AK=BK` `(2` cạnh tương ứng`)` `(1)`

`=>` $\widehat{AKM}$ `=` $\widehat{BKM}$ `(2` góc tương ứng `)`

Mà $\widehat{AKM}$ `+` $\widehat{BKM}$ `=180^0` 

`=>` $\widehat{AKM}$ `=` $\widehat{BKM}$ `=` `180^0/2=90^0` `(2)`

`=>` `MK` là trung trực `AB`

`#niveau`