Cho đường tròn `(O; R)` và điểm `S` `(OS > R)`. Vẽ hai tiếp tuyến `SA, SB` với đường tròn `(O)` (`A, B` là các tiếp điểm). Nối `OS` cắt đoạn thẳng `AB` tại điểm `H`. `1)` Chứng minh bốn điểm `S, A,O, B` cùng thuộc một đường tròn. `2)` Chứng minh `OH.OS = R^2`. `3)` Vẽ đường kính `AC` của đường tròn `(O)`, trung trực của đoạn thẳng `AC` lần lượt cắt các đường thẳng `BC` và `SB` theo thứ tại các điểm `K` và `N`. Hai đường thẳng `SK` và `OB` cắt nhau tại điểm `M`. Chứng minh tứ giác `OSKC` là một hình bình hành và đường thẳng `MN` đi qua trung điểm của đoạn thẳng `KA`.

Giải thích các bước giải:

1.Vì $SA, SB$ là tiếp tuyến của $(O)\to SA\perp OA, SB\perp OB$
$\to \widehat{SAO}=\widehat{SBO}=90^o$

$\to S, A, O, B\in$ đường tròn đường kính $SO$

2.Vì $SA, SB$ là tiếp tuyến của $(O)\to SO\perp AB$

$\to AH\perp OS$

Mà $\Delta SAO$ vuông tại $A$

$\to OH\cdot OS=OA^2=R^2$

3.Ta có: $AC$ là đường kính của $(O)\to \widehat{ABC}=90^o$

              $\widehat{AOK}=\widehat{ABK}=90^o$

$\to AOBK$ nội tiếp

Mà $SAOB$ nộ tiếp

$\to S, A, O, B, K$ cùng thuộc một đường tròn

$\to \widehat{SKO}=\widehat{SBO}=90^o\to SK\perp OK\to SK//OC(\perp OK)$

Mà $SO//CK(\perp AB)$

$\to SOCK$ là hình bình hành

Ta có: $\widehat{ASK}=180^o-\widehat{AOK}=90^o, \widehat{AOK}=90^o, \widehat{SAO}=90^o\to SAOK$ là hình chữ nhật

$\to \widehat{MSO}=\widehat{KSO}=\widehat{SOA}=\widehat{SOB}=\widehat{MOS}\to \Delta MSO$ cân tại $M$

$\to MS=MO$

Ta có: $SA, SB$ là tiếp tuyến của $(O)\to SO$ là phân giác $\widehat{ASB}$

Vì $OK//SA(\perp OA)$

$\to \widehat{NSO}=\widehat{BSO}=\widehat{ASO}=\widehat{SON}$

$\to \Delta NSO$ cân tại $N\to NS=NO$

$\to M, N\in$ trung trực $SO$

Gọi $MN\cap SO=D\to MN\perp SO=D$ là trung điểm $SO$

Mà $SAOK$ là hình chữ nhật $\to SO\cap AK=D$ là trung điểm mỗi đường

$\to D$ là trung điểm $AK$

$\to MN$ đi qua trung điểm $AK$