Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho với mọi ước số tự nhiên d của n có tính chất cả hai số d^2 + 4 và d^2 + 16 đều là các số nguyên tố.

Ta nhận thấy `n=1` và `n=5` là hai số thỏa mãn đề bài và số `0` không thỏa mãn đề bài

Ta sẽ tiếp tục xét `n ne 0,1,5`

TH1: `n` sau khi phân tích thành thừa số nguyên tố có dạng `n=5^k` `(k in NN)`

Do `n` khác `1,5` `=>` `k >= 2`

`=>` `n` sẽ luôn có một ước là `25`

Mà `25` không thỏa mãn đề bài

`=>` Loại

TH2: Các trường hợp còn lại của `n`

`=>` `n` sẽ có ít nhất một ước số lớn hơn `1` và không chia hết cho `5`

Gọi ước số đó là `x` `=>` `x` chia `5` dư `1,2,3,4` `=>` `x^2` chia `5` dư `1,4`

`+)` Nếu `x^2` chia `5` dư `1` `=>` `x^2+4` chia hết cho `5`

Mà `x > 1` thì `x^2+4 > 5`

`=>` `x^2+4` là hợp số

`=>` Loại

`+)` Nếu `x^2` chia `5` dư `4` `=>` `x^2+16` chia hết cho `5`

Mà `x > 1` thì `x^2+16 > 5`

`=>` `x^2+16` là hợp số

`=>` Loại

Vậy `n=1` hoặc `n=5` thỏa mãn đề bài