Cho hình vuông ABCD ,trên cạnh BC lấy M (MB<MC).Từ A kẻ Ax vuông góc AM cắt đường thẳng CD tại N . a, Chứng minh AN =AM b,BD cắt MN tại Q. AQ cắt DC tại K.Chứng minh DK/DC =DQ/QB c, Lấy điểm P thuộc BD sao cho PM vuông góc với BC . Chứng minh NDMP là Hình bình hành d, Đường thẳng MP cắt AC tại S .Từ M kẻ đường thẳng song song với AK cắt đường thẳng AC tại J . MN giao với AC tại E, MK giao với AC tại H .Chứng minh : ES.JH= EH .JS

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABM,\Delta ADN$ có:

$\hat B=\hat D(=90^o)$

$AB=AD$

$\widehat{MAB}=90^o-\widehat{MAD}=\widehat{DAN}$

$\to \Delta ABM=\Delta ADN(g.c.g)$

$\to AM=AN$

b.Ta có: $AB//CD$

$\to \dfrac{DQ}{QB}=\dfrac{DK}{AB}=\dfrac{DK}{DC}$

c.Ta có: $PM\perp BC\to \Delta BMP$ vuông tại $M$

               $\widehat{MBP}=\widehat{DBC}=45^o$

$\to\Delta PMB$ vuông cân tại $M$

$\to PM=BM=DN$

Mà $PM//DN(\perp BC)\to MPND$ là hình bình hành

d.Ta có: $AM=AN, AM\perp AN\to \Delta AMN$ vuông cân tại $A$

               $MPND$ là hình bình hành, $NM\cap DP=Q\to Q$ là trung điểm $DP, NM$

$\to AQ\perp MN\to AJ\perp MN$

Mà $MJ//AK\to MJ\perp MN\to MJ\perp ME$

Ta có: $AK\perp MN, \Delta AMN$ vuông cân tại $A\to AK$ là trung trực $MN\to KM=KN$

$\to \widehat{HME}=\widehat{KMN}=\widehat{KNM}=\widehat{MND}=\widehat{NMP}=\widehat{EMS}$

$\to ME$ là phân giác $\widehat{HMS}$

Mà $ME\perp MJ\to MJ$ là phân giác ngoài tại $M$ của $\Delta MHS$

$\to \dfrac{EH}{ES}=\dfrac{JH}{JS}$

$\to EH\cdot JS=ES\cdot JH$