cho tam giác ABC nhọn, H là trực tâm nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H' là điểm đối xứng của H qua BC. Chứng minh a) Tứ giác ABH'C nội tiếp b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải thích các bước giải:

a.Gọi $AH\cap BC=D, BH\cap AC=E, CH\cap AB=F$ 

$\to AD\perp BC, BE\perp AC, CF\perp AB$ 

$\to \widehat{ADC}=\widehat{AFC}=90^o\to\Diamond AFDC $ nội tiếp

$\to \widehat{DCF}=\widehat{DAF}$

Vì $H$ đối xứng với H' qua BC

$\to HH'\perp BC\to A,H,D,H'$ thẳng hàng

$\to \widehat{BAH'}=\widehat{DAF}=\widehat{FDC}=\widehat{HCB}$

Lại có: H đối xứng với H' qua BC

$\to \widehat{BCH'}=\widehat{HCB}$

$\to \widehat{BCH'}=\widehat{BAH'}\to \Diamond ABH'C$ nội tiếp

b.Lấy $A'$ đối xứng với A qua BC

$\to BC\perp AA'\to A,H,D,H',A'$ thẳng hàng

Vì $H,H'$ đối xứng qua BC, A,A' đối xứng qua BC

$\to \widehat{BHC}=\widehat{BH'C},\widehat{BAC}=\widehat{BA'C}$

Lại có $\Diamond ABH'C$ nội tiếp

$\to \widehat{BAC}+\widehat{BH'C}=180^o$
$\to \widehat{BA'C}+\widehat{BHC}=180^o$

$\to\Diamond BHCA'$ nội tiếp

$\to $Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta BHC$ bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta A'BC$

Ta có $A,A'$ đối xứng qua BC
$\to A'B=AB, CA=CA'\to\Delta ABC=\Delta A'BC(c.c.c)$
$\to$Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta A'BC$ bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

$\to$Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta BHC$ bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$