Từ M nằm ngoài (O;R) sao cho OM > 2R, vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A và B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM và AB. a) Chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn và OM vuông góc với AB tại H. b) Vẽ đường kính BD của đường tròn (O). Đường thẳng MD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E (E khác D). Chứng minh ME.MD = MH. MO và ^^ 𝑀𝐻𝐸= 𝑀𝐷𝑂. c) Gọi J là hình chiếu của A trên OD, gọi P là trung điểm của AJ. Chứng minh M, P, D thẳng hàng.

Giải thích các bước giải:

a.Vì $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to MA\perp OA, MB\perp OB, MO\perp AB=H$ là trung điểm $AB$

$\to \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^o$

$\to M, A, O, B\in$ đường tròn đường kính $MO$

b.Ta có: $BD$ là đường kính của $(O)\to \widehat{BED}=90^o\to BE\perp MD$

$\to ME\cdot MD=MB^2=MH\cdot MO$

$\to \dfrac{ME}{MH}=\dfrac{MO}{MD}$

Mà $\widehat{EMH}=\widehat{OMD}$

$\to \Delta MEH\sim\Delta MOD(c.g.c)$

$\to \widehat{MHE}=\widehat{MDO}$

c.Gọi $AD\cap MD=F$

Vì $BD$ là đường kính của $(O)\to \widehat{BAD}=90^o\to AB\perp AD\to AB\perp DF$

$\to DF//MO(\perp BA)$

Mà $O$ là trung điểm $BD\to M$ là trung điểm $BF$

$\to MF=MB=\dfrac12BF$

Ta có: $AJ//BF(\perp BD)$

$\to \dfrac{DJ}{DB}=\dfrac{AJ}{BF}=\dfrac{2PJ}{2BM}=\dfrac{PJ}{BM}$

Mà $\widehat{DJP}=\widehat{DBM}(=90^o)$

$\to\Delta DJP\sim\Delta DBM(c.g.c)$

$\to \widehat{PDJ}=\widehat{MDB}$

$\to D, P, M$ thẳng hàng