Cho a, b, c, d là các số nguyên dương và a^2 - 2b^2 = 3( c^2 - 5d^2 - b^2 ) . Chứng minh a + b + c + d là hợp số

Đáp án:

Xét  `a^2+b^2+c^2+d^2=4c^2-14d^2=2(c^2-7d^2)` chia hết cho `2` (1)

Tiếp tục xét `A=(a^2+b^2+c^2+d^2)-(a+b+c+d) = a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)+d(d-1)`

Do `a(a-1)` là 2 số tự nhiên liên tiếp ⇒ `a(a-1)` chia hết cho `2`

Tương tự ta sẽ có A chia hết cho `2`(2)

Từ (1) và (2) ⇒ `a+b+c+d` chia hết cho `2` ⇒ `a+b+c+d=2k`

Mà `a,b,c,d` là các số nguyên dương ⇒ `a+b+c+d >2`

Từ đó `k >1` ⇒ `a+b+c+d` là hợp số.