Bài 5. (0,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A=|x−1|+|x+2023| với x$\in$R b) Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$. Chứng minh rằng $\frac{a^{2023}+ b^{2023}}{c^{2023} + d^{2023}}$ = $\frac{(a-b)^{2023}}{(c-d)^{2023}}$ biết a,b,c,d khác 0 và a $\neq$ $\pm$b; c$\neq$ $\pm$ d)

Đáp án:

 a, A=|x−1|+|x+2023|

        =|1-x|+|x+2023|≥| 1-x+x+2023|=|2024|=2024

  Dấu "=" xảy ra ⇔(1-x)*(x+2023)≥0

 TH1: 1-x≥0 và x+2023≥0

⇒      x≤1    và x≥-2023

⇒-2023≤x≤1 (chon)

  TH2: 1-x≤0 và x+2023≤0

           x≥1    và x≤ -2023 (loại)

Vậy Min A=2024⇔-2023≤x≤1

b, Từ a/b=c/d⇒a/c=b/d

   Áp dụng tính chất dãy tỉ số bàng nhau ta có: 

a/c=b/d=a-b/ c-d

⇒(a/c)^2023=(b/d)^2023=(a-b/c-d)^2023

⇒a^2023/c^2023=b^2023/d^2023=(a-b)^2023/(c-d)^2023

   Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a^2023/c^2023=b^2023/d^2023=(a-b)^2023/(c-d)^2023=a^2023+c^2023/b^2023+d^2023

⇒ (a-b)^2023/(c-d)^2023=a^2023+c^2023/b^2023+d^2023(đpcm)