Cho a,b,c là 3 số khác 0 thỏa mãn: $\frac{ab}{a+b}$=$\frac{bc}{b+c}$=$\frac{cs}{c+a}$ (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) và a+b+c=1.Tính giá trị của biểu thức A= $\frac{abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}$

Đáp án:Để tính giá trị của biểu thức A = abc(a^2 + b^2 + c^2)/(ab + bc + ca), ta sẽ sử dụng các giả thiết và phương pháp giải quyết sau đây: Từ giả thiết aba + b^2 + a = bcb + c^2 + b = csc + a^2 + c, ta có thể suy ra: aba + b^2 + a - bcb - c^2 - b = 0 bcb + c^2 + b - csc - a^2 - c = 0 csc + a^2 + c - aba - b^2 - a = 0 Từ a + b + c = 1, ta có thể suy ra: a = 1 - b - c Thay giá trị của a vào các phương trình trên, ta có: (1 - b - c)ba + b^2 + (1 - b - c) - bcb - c^2 - b = 0 bcb + c^2 + b - csc - (1 - b - c)^2 - c = 0 csc + (1 - b - c)^2 + c - (1 - b - c)ba - b^2 - (1 - b - c) = 0 Giải hệ phương trình này để tìm giá trị của b và c. Sau đó, tính giá trị của a từ a = 1 - b - c. Sau khi tìm được giá trị của a, b và c, ta có thể tính giá trị của biểu thức A = abc(a^2 + b^2 + c^2)/(ab + bc + ca) bằng cách thay các giá trị này vào công thức và tính toán.

Giải thích các bước giải:Tất cả các giả thiết trong bài toán là: aba + b^2 + a = bcb + c^2 + b = csc + a^2 + c a + b + c = 1 Để tính giá trị của biểu thức A = abc(a^2 + b^2 + c^2)/(ab + bc + ca), ta sẽ sử dụng phương pháp giải quyết sau: 1. Từ giả thiết aba + b^2 + a = bcb + c^2 + b, ta có: aba + b^2 + a - (bcb + c^2 + b) = 0 a(b^2 - bc - 1) + b(a - c) + (a - c) = 0 (a - c)(b^2 - 1) + (a - c) = 0 (a - c)(b^2 - 1 + 1) + (a - c) = 0 (a - c)(b^2) + (a - c) = 0 (a - c)(b^2 + 1) = 0 Vì a, b, c khác 0, nên (b^2 + 1) khác 0. Do đó, ta có a - c = 0, hay a = c. 2. Từ giả thiết csc + a^2 + c = aba + b^2 + a, ta có: csc + a^2 + c - (aba + b^2 + a) = 0 c(a^2 - ab - 1) + a(c - b) + (c - b) = 0 (c - b)(a^2 - 1) + (c - b) = 0 (c - b)(a^2 - 1 + 1) + (c - b) = 0 (c - b)(a^2) + (c - b) = 0 (c - b)(a^2 + 1) = 0 Vì a, b, c khác 0, nên (a^2 + 1) khác 0. Do đó, ta có c - b = 0, hay c = b. 3. Từ a = c và c = b, ta suy ra a = b = c. 4. Vì a + b + c = 1, thay a = b = c vào, ta có 3a = 1, hay a = 1/3. 5. Tính giá trị của biểu thức A = abc(a^2 + b^2 + c^2)/(ab + bc + ca): A = (1/3)(1/3)(1/3)((1/3)^2 + (1/3)^2 + (1/3)^2)/((1/3)(1/3) + (1/3)(1/3) + (1/3)(1/3)) = (1/27)(3/9)/(1/9 + 1/9 + 1/9) = (1/27)(3/9)/(3/9) = 1/3 Vậy giá trị của biểu thức A là 1/3.