BÀI TẬP Bài 1: Cho (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là tiếp điểm). a) Chứng minh: MAOB là tứ giác nội tiếp b) Trong góc AMO vẽ cát tuyến MCD với (O) (C nằm giữa M và D). Vẽ OI vuông góc với CD tại I. Chứng minh: 5 điểm M,A,I,O,B cùng thuộc một đường tròn và IM là phân giác của góc AIB c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh: MC.MD= MH.MO và CHOD là tứ giác nội tiếp.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Tứ giác MAOB có: góc MAO + góc MBO = 90+90=180 (góc MAO và góc MBO là hai góc đối)

⇒ tứ giác MAOB nội tiếp (đpcm) (1)

b) tứ giác MAIO có: góc MAO = góc MIO =90 

⇒  góc MAO và  góc MIO cùng nhìn đoạn MO dưới một góc không đổi 

do đó: tứ giác MAIO nội tiếp (2)

(1), (2) M,A,I,O,B thuộc cùng một đường tròn (đpcm)

   tứ giác MAIO nội tiếp ⇒ góc AIM = góc AOM ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM) (3)

   vì M,A,I,O,B thuộc cùng một đường tròn nên tứ giác MBOI nội tiếp

⇒ góc BIM = góc BOM ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) (4)

 Hai tiếp tuyến AM và BM cắt nhau tại M nên OM là tia phân giác của góc AOB

⇒ góc AOM = góc BOM (5)

(3), (4), (5) ⇒ góc AIM = góc BIM ⇒ IM là tia phân giác của góc AIB (đpcm)

c)  góc MAC là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AM và dây AC; góc  MDA là góc nội tiếp chắn cung AC

nên góc MAC = góc  MDA 

Xét tam giác MAC và tam giác MDA có:

góc MAC = góc  MDA; góc M chung

⇒ tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDA (g-g)

⇒ $\frac{MA}{MD}$ = $\frac{MC}{MA}$ ⇒ MC.MD = MA² (6)

ta có: OA =OB ⇒ tam giác OAB cân tại O 

tam giác OAB cân tại O  có OM là tia phân giác của góc AOB nên OM ⊥ AB 

⇒ góc MHB =90

vì BM là tia tiếp tuyến của đường tròn tâm O nên OB ⊥ BM ⇒ góc MBO =90

Xét tam giác MHB  và tam giác MBO có:

góc MHB = góc MBO = 90; góc M chung

⇒ tam giác MHB  đồng dạng với tam giác MBO (g-g)

⇒ $\frac{MH}{MB}$ = $\frac{MB}{MO}$ ⇒ MH.MO = MB² (7)

 Hai tiếp tuyến AM và BM cắt nhau tại M nên MA =MB ⇒ MA² = MB² (8)

(6), (7), (8) ⇒ MC.MD = MH.MO (đpcm)

vì MC.MD = MH.MO nên $\frac{MC}{MO}$ = $\frac{MH}{MD}$ 

xét tam giác MCH và tam giác MOD có:

góc M chung; $\frac{MC}{MO}$ = $\frac{MH}{MD}$ 

⇒tam giác MCH đồng dạng với tam giác MOD ⇒ góc MHC = góc MDO hay góc MHC = góc CDO

ta có: góc CHO + góc MHC = 180 ⇒ góc CHO + góc CDO =180

tứ giác CHOD có góc CHO + góc CDO =180 ; góc CHO và góc CDO là hai góc đối

nên tức giác CHOD nội tiếp (đpcm)