Tìm đa thức dư khi chia đa thức P(x) cho đa thức `(x - 1)(x^2 + 1)` biết đa thức P(x) chia cho` x - 1` dư 4 và khi chia cho `x^2 + 1 `thì được dư là `3x + 5`

Gọi thương của đa thức `P(x)` khi chia cho `(x-1)(x^2 +1)` là `A(x)`, đa thức dư là `ax^2 +bx+c`, khi đó : `P(x)=A(x)(x-1)(x^2 +1)+ax^2 +bx+c`

`<=>P(x)=A(x)(x-1)(x^2 +1)+ax^2 +a +bx+c-a`

`<=>P(x)=A(x)(x-1)(x^2 +1)+a(x^2 +1)+bx+c-a`

`<=>P(x)=[A(x)(x-1)+a](x^2 +1)+bx+c-a`

Do `P(x)` chia cho `x^2 +1` được dư là `3x+5=>bx+c-a=3x+5AAx=>` $\begin{cases}b=3\\c-a=5\end{cases}$

Theo định lý Bezout, `P(x)` chia cho `x-1` dư `4=>P(1)=4=>A(1)(1-1)(1^2 +1)+a.1^2 +b.1+c=4<=>a+b+c=4`

Suy ra : $\begin{cases}a+b+c=4\\b=3\\c-a=5\end{cases}$ `<=>` $\begin{cases}a+c=1\\b=3\\c-a=5\end{cases}$ `<=>` $\begin{cases}a=-2\\b=3\\c=3\end{cases}$

`=>` Đa thức dư khi chia `P(x)` cho đa thức `(x-1)(x^2 +1)` là `-2x^2 +3x+3`

Vậy đa thức dư khi chia `P(x)` cho đa thức `(x-1)(x^2 +1)` là `-2x^2 +3x+3`