Cho nửa đường tròn (O;R) có đường kính MN. Kẻ hai tiếp tuyến Mx, Ny của nửa (O) (Mx và Ny và nửa đường tròn (O) thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng MN). Lấy điểm A bất kỳ thuộc nửa (O) (AM < AN). Qua A, kẻ tiếp tuyến với nửa (O) cắt Mx, Ny lần lượt tại E và F. a) Chứng minh 4 điểm M, E, A, O cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh ME + NE = EF và AE.AF = R? c) Gọi H là giao điểm của MF và NE. AH cắt MN tại K. Chứng minh AK L MN và H là trung điểm của AK

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a) Để chứng minh 4 điểm M, E, A, O cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và góc nội tiếp.

Vì Mx và Ny là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn (O), nên góc MEO và góc NFO là góc vuông.

Ta có:
Góc MAE = Góc MEO - Góc AEO (1)
Góc AFO = Góc NFO - Góc AEF (2)

Từ (1) và (2), suy ra:
Góc MAE + Góc AFO = Góc MEO + Góc NFO - (Góc AEO + Góc AEF)
Góc MAE + Góc AFO = 90° + 90° - 90°
Góc MAE + Góc AFO = 90°

Do đó, góc MAE và góc AFO là góc vuông, tức là MA và AO là tiếp tuyến cùng của nửa đường tròn (O).

Vậy, 4 điểm M, E, A, O cùng thuộc một đường tròn.

b) Để chứng minh ME + NE = EF và AE.AF = R, ta sẽ sử dụng định lý Euclid về tỉ lệ cắt.

Áp dụng định lý Euclid, ta có:
ME/NE = AE/AE (vì ME và NE là tiếp tuyến chung của đường tròn)
ME/NE = 1

Do đó, ME = NE.

Vì AEO và AFO là hai tam giác vuông cân, nên ta có:
AE.AF = AO^2 - R^2 (vì AE và AF là đường cao của hai tam giác vuông cân)

Từ đó, ta có:
AE.AF = R^2 - R^2
AE.AF = 0
Vậy, AE.AF = R.

c) Để chứng minh AK // MN và H là trung điểm của AK, ta sẽ sử dụng định lý Euclid về tỉ lệ cắt.

Áp dụng định lý Euclid, ta có:
ME/NE = AH/KH (vì ME và NE là tiếp tuyến chung của đường tròn)
ME/NE = AH/KH

Do đó, ME = NE và AH = KH.

Vì ME = NE, ta có góc MEN = góc NME.
Vì AH = KH, ta có góc ANH = góc AMH.

Từ đó, ta suy ra góc MEN = góc ANH.

Vì góc MEN = góc ANH và ME = NE, theo định lý góc đồng nhất, ta có AK // MN.

Vì AH = KH, ta suy ra H là trung điểm của AK.

Vậy, AK // MN và H là trung điểm của AK.
Cho xin điểm cao nhất ak