cho nửa đường tròn (o) bán kính AB=2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. CM: a,AC+BD=CD b, ∠COD=90o c, AC.BD=AB ²/4 d,OC//BM e,AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD f,MN ⊥ AB g, Xác định M để ABCD có chu vi nhỏ nhất

Giải thích các bước giải:

a.Vì CM,CA là tiếp tuyến của (O)

$\to OC$ là phân giác $\widehat{AOM}, CM=CA$ 

Tương tự $OD$ là phân giác $\widehat{BOM}, DM=DB$

$\to AC+BD=CM+DM=CD$

b.Từ câu a 

$\to\widehat{COD}=\widehat{COM}+\widehat{MOD}=\dfrac12\widehat{AOM}+\dfrac12\widehat{MOB}=\dfrac12\widehat{AOB}=90^o$

c.Ta có:

$OC\perp OD,OM\perp CD\to CM.DM=OM^2$

Mà $AC=CM,DM=DB,OM=R\to AC.BD=R^2=\dfrac{AB^2}{4}$

d.Vì $CA,CM $ là tiếp tuyến của (O)
$\to OC\perp AM$

Mà $AM\perp BM$ vì AB là đường kính của (O)
$\to OC//BM$

d.Lấy I là trung điểm CD vì $\widehat{COD}=90^o\to (I,IO)$ là đường tròn đường kính CD

Mà O là trung điểm AB,$AC//DB(\perp AB)$

$\to IO$ là đường trung bình hình thang $\Diamond ABDC$

$\to IO//AC\to IO\perp AB$

$\to AB$ là tiếp tuyến của (I,IO)

Hay AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

f.Ta có :$AC//BD,CM=CA,DM=DA$

$\to \dfrac{NA}{ND}=\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{CM}{MD}$

$\to MN//AC\to MN\perp AB(AC\perp AB)$

g.Để $ABDC$ có chu vi nhỏ nhất

$\to AB+BD+AC+CD$ nhỏ nhất

$\to AB+CD+CD$ nhỏ nhất

$\to AB+2CD$ nhỏ nhất

$\to CD$ nhỏ nhất

Mà $CD\ge AB$ vì $ABCD$ là hình thang vuông tại A,B

Dấu = xảy ra khi $CD//AB\to M$ nằm giữa A và B