Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Vẽ BH vuông góc với AC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AH, BH, CD. a) Chứng minh tứ giác MNCP là hình bình hành b) Chứng minh MP vuông góc MB c) Gọi I là trung điểm của BP và J là giao điểm của MC và NP. Chứng minh rằng IJ//HN

Giải thích các bước giải:

a.Ta có:

$M, N$ là trung điểm $HA, HB$

$\to MN$ là đường trung bình $\Delta HAB$

$\to MN//AB, MN=\dfrac12AB$

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật

$\to AB//CD, AB=CD$

$\to MN//CD, MN=\dfrac12CD$

Lại có: $P$ là trung điểm $CD\to PC=PD=\dfrac12CD$

$\to MN//CP, MN=CP$

$\to MNCP$ là hình bình hành

b.Vì $MNCP$ là hình bfinh hành
$\to MN//CP, MP//CN$

Ta có:

$CP\perp BC\to MN\perp BC$

$BH\perp AC\to BN\perp CM$

$\to N$ là trực tâm $\Delta BCM$

$\to CN\perp BM$

$\to BM\perp MP$

c.Ta có: $MNCP$ là hình bình hành

$\to MC\cap NP$ tại trung điểm mỗi đường

Do $MC\cap NP=J$

$\to J$ là trung điểm $MC, NP$

Lại có: $I$ là trung điểm $BP$

$\to IJ$ là đường trung bình $\Delta BPN$

$\to IJ//BN$

$\to IJ//NH$