Cho hình vuông `ABCD`. Lấy `2` điểm `M`, `N` trên `BC` và `CD` sao cho góc `MAN=45` độ 1) Chứng minh `MN = BM +DN`. 2) Chứng minh khoảng cách từ `A` đến `MN` bằng độ dài cạnh hình vuông 3) Tìm vị trí của `M,N` để `MN` nhỏ nhất.

Giải thích các bước giải:

1.Trên tia đối của tia $DC$ lấy $E$ sao cho $DE=BM$

Xét $\Delta ADE, \Delta ABM$ có:

$AD=AB$

$\hat D=\hat B(=90^o)$

$DE=BM$

$\to \Delta ADE=\Delta ABM(c.g.c)$

$\to AE=AM, \widehat{DAE}=\widehat{MAB}$

$\to \widehat{EAM}=\widehat{DAE}+\widehat{DAM}=\widehat{MAB}+\widehat{MAD}=\widehat{BAD}=90^o=2\widehat{MAN}$

$\to AN$ là phân giác $\widehat{EAM}$

Xét $\Delta ANE, \Delta AMN$ có:

Chung $AN$

$\widehat{NAE}=\widehat{NAM}$

$AE=AM$

$\to \Delta ANE=\Delta ANM(c.g.c)$

$\to MN=NE=ND+DE=DN+BM$

2.Kẻ $AH\perp MN, H\in MN$

Từ câu 1 $\to \widehat{ANE}=\widehat{ANM}$

$\to NA$ là phân giác $\widehat{MNE}$

Mà $AD\perp EN, AH\perp NM$

$\to AD=AH$

$\to $Khoảng cách từ $A$ đến $MN$ bằng độ dài cạnh hình vuông

3.Gọi cạnh hình vuông là $a, a>0$

Ta có:

$MN=DN+BM$

$\to MN+MC+NC=DN+BM+CN+CM=(DN+NC)+(BM+MC)=CD+BC=2a$

$\to 2a-MN=MC+NC=\sqrt{(MC+NC)^2}\le \sqrt{2(MC^2+NC^2)}=\sqrt{2MN^2}$

$\to (2a-MN)^2\le 2MN^2$

$\to 4a^2-4aMN+MN^2\le 2MN^2$

$\to MN^2+4aMN\ge 4a^2$

$\to MN^2+4aMN+4a^2\ge 8a^2$

$\to (MN+2a)^2\ge 8a^2$

$\to MN+2a\ge 2\sqrt2a$

$\to MN\ge -2a+2\sqrt2a$

$\to$Dấu = xảy ra khi $CM=CN\to \Delta CMN$ vuông cân tại $C$

$\to CN=\dfrac{MN}{\sqrt2}=-a\sqrt2+2a$