Cho Tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) đường cao AH . Gọi M là trung điểm AC . biét MH cắt AB tại E, lấy F sao cho M là trung điểm EF a , tứ giác AECF là hình gì ? b , Qua F kẻ ường thẳng song song với AH cắt AC kéo dài tại K . CM : AH/FK = AC/EF c, Qua H kẻ đuong thẳng song song với AB cắt À tại Q . Gọi P là giao điểm của HC và FK . CM : PQ // AC d, Gọi N là trung điểm của AF và D là giao điểm của PQ với FC . CM : 3 điểm K , D , N thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $AC\cap EF=M$ là trung điểm mỗi đường

$\to AECF$ là hình bình hành

b.Ta có: $AH//FK$

$\to \dfrac{AH}{FK}=\dfrac{MA}{MK}$

Vì $\Delta AHC$ vuông tại $H, M$ là trung điểm $AC\to MH=MA=MC=\dfrac12AC$

$\to \Delta MAH$ cân tại $M$

$\to \widehat{MFK}=\widehat{MHA}=\widehat{MAH}=\widehat{MKF}\to \Delta MFK$ cân tại $M$

$\to MF=MK$

$\to MK=MF=\dfrac12EF\to EF=2MK$

$\to \dfrac{AH}{FK}=\dfrac{MA}{MH}=\dfrac{2MA}{2MH}=\dfrac{AC}{EF}$

c.Ta có: $\dfrac{PK}{AH}=\dfrac{CK}{CA}$

             $\dfrac{FK}{AH}=\dfrac{MK}{MA}=\dfrac{2MK}{2MA}=\dfrac{EF}{AC}$

$\to \dfrac{PK}{AH}:\dfrac{FK}{AH}=\dfrac{CK}{CA}:\dfrac{EF}{AC}$

$\to \dfrac{PK}{FK}=\dfrac{CK}{EF}$

Mà $MK=\dfrac12EF=ME=MF$

$\to EH=ME-MH=MK-MC=CK$

$\to \dfrac{PK}{FK}=\dfrac{EH}{EF}=\dfrac{AG}{AF}$ vì $EQ//AB$

$\to QP//AK$

$\to PQ//AC$

d.Ta có: $M, N$ là trung điểm $AC, AF\to MN//FC$

                $M, N$ là trung điểm $FE, FA\to MN//AE\to MN//QH(//AE)$

$\to \dfrac{NQ}{NA}=\dfrac{MH}{ME}=\dfrac{2MH}{2ME}=\dfrac{AC}{EF}=\dfrac{AH}{FK}$

Ta có: $\dfrac{QD}{AC}=\dfrac{FQ}{FA}=\dfrac{FH}{FE}$

            $\dfrac{AC}{AK}=\dfrac{2AM}{AK}=2\cdot \dfrac{HM}{HF}=\dfrac{2HM}{HF}=\dfrac{AC}{HF}$

$\to \dfrac{QD}{AC}\cdot\dfrac{AC}{AK}=\dfrac{FH}{FE}\cdot \dfrac{AC}{HF}=\dfrac{AC}{FE}=\dfrac{QD}{AC}$

Mà $\widehat{NQD}=\widehat{NQK}$ vì $QP//AK$

$\to \Delta NQD\sim\Delta NAK(c.g.c)$

$\to \widehat{QND}=\widehat{ANK}$

$\to N, D, K$ thẳng hàng