Tính giá trị nhỏ nhất của tỉ số R:r trong tam giác ABC với R là bán kính đường trong ngoại tiếp r là bán kính đường tròn nội tiếp các chuyên toán cuuwuu emm

Bất đẳng thức Euler: $R\ge 2r$

$\begin{array}{l}
\dfrac{R}{r} = \dfrac{{\dfrac{{abc}}{{4S}}}}{{\dfrac{S}{p}}} = \dfrac{{pabc}}{{4{S^2}}} = \dfrac{{pabc}}{{4.p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}\\
 = \dfrac{{abc}}{{4\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}\\
 = \dfrac{{abc}}{{4\left( {\dfrac{{a + b + c}}{2} - a} \right)\left( {\dfrac{{a + b + c}}{2} - b} \right)\left( {\dfrac{{a + b + c}}{2} - c} \right)}}\\
 = \dfrac{{2abc}}{{\left( {a + b - c} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)}}\\
 \bullet \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {\left( {a + b - c} \right)\left( {b + c - a} \right)}  \le \dfrac{{a + b - c + b + c - a}}{2} = b\\
\sqrt {\left( {b + c - a} \right)\left( {a + c - b} \right)}  \le \dfrac{{b + c - a + a + c - b}}{2} = c\\
\sqrt {\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)}  \le \dfrac{{c + a - b + a + b - c}}{2} = a
\end{array} \right.\left( {AM - GM} \right)\\
 \Rightarrow \left( {a + b - c} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right) \le abc\\
 \Rightarrow \dfrac{R}{r} \ge 2 \Rightarrow R \ge 2r
\end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hay tam giác $ABC$ đều.