Cho a,b,c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca =3abc

chứng minh rằng 1/a³(b+c) +1/b³(c+a) + 1/c³(a+b) lớn hơn hoặc bằng 9/2(ab+bc+ca)

Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\text{Ta có: ab + bc + ca = 3abc}$ `=>` $\dfrac{ab+bc+ca}{abc}$ `=` `3` `=>` $\dfrac{1}{a}$ `+` $\dfrac{1}{b}$ `+` $\dfrac{1}{c}$ `= 3`
$\\$
$\dfrac{1}{a^3(b+c)}$ `+` $\dfrac{1}{b^3(c+a)}$ `+` $\dfrac{1}{c^3(a+b)}$ $\geq$ $\dfrac{9}{2(ab+bc+ca)}$ 
$\\$
Xét VT `=` $\dfrac{(1/a)^2}{a(b+c)}$ `+` $\dfrac{(1/b)^2}{b(c+a)}$ `+` $\dfrac{(1/c)^2}{c(a+b)}$
$\\$
Theo BĐT Bunhiacopski, có: $\dfrac{(1/a)^2}{a(b+c)}$ `+` $\dfrac{(1/b)^2}{b(c+a)}$ `+` $\dfrac{(1/c)^2}{c(a+b)}$ $\geq$ $\dfrac{(1/a+1/b+1/c)^2}{ab+ac+ab+bc+ac+bc}$ `=` $\dfrac{9}{2(ab+bc+ca)}$ (dpcm)
Dấu "=" xảy ra `<=>` a = b = c = 1