Giải chi tiết hộ e vs ạ

Đáp án`+`Giải thích các bước giải:

`+,` Trường hợp `1: m = 1/3`

`=> y = (1 - 3. 1/3)x + 1/3`

`=> y = 1/3`

`=>` khoảng cách từ đường thẳng `(d)` đến gốc tọa độ là `1/3`

`+,` Trường hợp `2: m \ne 1/3`

Xét `x = 0 => y = m `

`=>` tọa độ giao điểm của đường thẳng `(d)` với trục tung là: `A(0;m)`

`=> OA = |m|`

Xét `y = 0 => 0 = (1 - 3m)x+ m`

`<=> (3m -1)x = m`

`<=> x = m/(3m - 1)` 
`=>` tọa độ giao điểm của đường thẳng `(d)` với trục hoành là: `B(m/(3m - 1);0)`

`=> OB = |m/(3m - 1)|`

Gọi `H` là chân đường cao hạ từ `O` xuống đường thẳng `(d)` 

Ta có: `1/(OH^2) = 1/(OA^2) + 1/(OB^2)`

`=> 1/(OH^2) = 1/((|m|)^2) + 1/((|m/(3m - 1)|)^2)`

`=> 1/(OH^2) = 1/(m^2) + ((3m- 1)^2)/(m^2)`

`=> 1/(OH^2) = (1 + 9m^2 - 6m + 1)/(m^2)`

`=> 1/(OH^2) = (9m^2 - 6m + 2)/(m^2)`

`=> m^2 = OH^2 (9m^2 - 6m + 2)`

`=> m^2 = 9OH^2 .m^2 - 6OH^2 .m + 2OH^2`

`<=> (9OH^2-1) m^2 - 6OH^2. m + 2OH^2 = 0`

Ta có: `\Delta' = (-3OH^2)^2 - (9OH^2 - 1).2 OH^2`

`= 9OH^4 - 18OH^4 + 2OH^2`

`= -9OH^4 + 2OH^2 \ge 0`

`=> -9OH^4 \ge -2OH^2`

`=> OH^2 \le (-2OH^2)/(-9OH^2) = 2/9`

`=> OH \le (\sqrt{2})/3` (do `OH > 0`)

Dấu "`=`" xảy ra `<=> m = (-(-3OH^2))/(9OH^2  - 1)`

`<=> m = (3OH^2)/(9OH^2- 1)`

`<=> m = (3. 2/9)/(9.2/9 - 1)`

`<=> m = 2/3`

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng `(d)` lớn nhất là `(\sqrt{2})/3 <=> m =2/3`

`***`sharksosad