Cho hình bình hành ABCD (AB>AD). gọi E,F lần lượt là trung điểm của CD và AB. Đường chéo BD Cắt AE,AC,CF lần lượt tại N,O,M

a) chứng minh: AECF là hình bình hành

b) chứng minh:ba điểm O,E,F thẳng hàng

c) chứng minh: M là trọng tâm của Tam giác ABC và AE=3FM

d) chứng minh:ON=1/3OB và DN=NM=MB

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 a) Ta thấy `AF=EC` và `AF//EC`   `(\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD)`

`⇒AECF` là hình bình hành

b) Ta có `FA=FB` và `OB=OD` (tính chất hình bình hành)

`=> FO ` là đường trung bình `ΔABD`

`⇒FO` song song `AD`

Tương tự ta chứng minh được `OE//BC`

Mà `AD` song song `BC`

`⇒FO` song song `OE`

`⇒F,O,E` thẳng hàng

c) Ta có: `FA=FB`, `OA=OC`

`⇒CM` và `BM` là hai đường trung tuyến `ΔABC`

`⇒M` là trọng tâm `ΔABC`   `(*)`

`⇒FM=\frac{1}{3}FC`

Mà AECF là hình bình hành `⇒FC=AE`

`⇒FM=\frac{1}{3}AE` hay `3FM=AE`

d) Xét `ΔNOE` và `ΔMOF` có:

`OE=OF`

`\hat{NOE}=\hat{MOF}` (đối đỉnh)

`\hat{NEO}=\hat{MFO}` (so le trong)

`⇒ΔNOE=ΔMOF`

`⇒ON=OM`

Lại có BM là đường trung tuyến `ΔABC` và `M` là trọng tâm

`⇒OM=\frac{1}{3}OB`

`⇒ON=\frac{1}{3}OB`  `(*)`

Ta thấy: Tương tự câu c), ta chứng minh được N là trọng tâm `ΔADC`

`⇒ON=\frac{1}{2}DN` `⇔2ON=DN`

M là trọng tâm `ΔABC`

`⇒OM=\frac{1}{2}MB` `⇔2OM=MB`

Mà `OD=OB`

`⇒DN=MB`

`⇒2DN=2MB=2ON+2OM`

`⇔DN=MB=MN`