Câu 17: (0,5 điểm). Cho a,b,c là ba số khác 0 thỏa mãn: $\frac{ab}{a + b}$ = $\frac{bc}{b + c}$ = $\frac{ca}{c + a}$ (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) và a + b + c = 1. Tính giá trị của biểu thức A = $\frac{abc(a² + b² + c²)}{ab + bc + ca}$

Ta có:

`(ab)/(a + b) = (bc)/(b + c) = (ca)/(c + a)`

`=> (abc)/(c (a + b)) = (abc)/(a (b + c)) = (abc)/(b (c + a))`

`=> (abc)/(ac + bc) = (abc)/(ab + ac) = (abc)/(bc + ab)`

`=>` `ac + bc = ab + ac = bc + ab`

TH1: `ac + bc = ab + ac => bc = ab => c = a`

TH2: `ab + ac = bc + ab => ac = bc => a = b`

`=> a = b = c`

Thay `a = b = c` vào biểu thức `A`, ta có:

`A = (abc (a^2 + b^2 + c^2))/(ab + bc + ca)`

`A = (aaa (a^2 + a^2 + a^2))/(aa + aa + aa)`

`A = (a^3 (a^2 + a^2 + a^2))/(a^2 + a^2 + a^2)`

`A = a^3` (*)

Vì `a + b + c = 1` mà `a = b = c` `=>` `a = 1/3`

Thay `a = 1/3` vào (*), ta có:

`A = (1/3)^3`

`A = 1/27`