Câu 54: Biết rằng hàm số y=ax^2+bx+c Đạt giá trị lớn nhất bằng 5 tại x=-2 và có đồ thị đi qua điểm M(1;-1) Câu 55: Biết rằng hàm số y=ax^2+bx+c Đạt giá trị lớn nhất bằng 1/4 tại x=3/2 và tổng lập phương các nhận của phương trình y=0

Đáp án: $54C, 55B.$
Giải thích các bước giải:
$54)$ Hàm số $y=ax^2+bx+c (a \ne 0)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $5$, khi đó $a<0$ và tung độ đỉnh $=\dfrac{-b^2+4ac}{4a}=5$, hoành độ đỉnh $\dfrac{-b}{2a}=-2.$
Đồ thị đi qua điểm $M(1;-1)$ nên $-1=a+b+c.$
Khi đó ta có hệ: $\begin{cases}\dfrac{-b^2+4ac}{4a}=5\\ \dfrac{-b}{2a}=-2\\-1=a+b+c\end{cases}$
Ta có: $\dfrac{-b}{2a}=-2 \Leftrightarrow b=4a,$ từ $-1=a+b+c \Rightarrow -1=5a+c \Rightarrow c=-1-5a.$ Từ $\dfrac{-b^2+4ac}{4a}=5 \Rightarrow \dfrac{-16a^2+4a(-1-5a)}{4a}=5 \Leftrightarrow -9a-1=5 \Rightarrow a=\dfrac{-2}{3}$ (nhận) $\Rightarrow b=\dfrac{-8}{3} $ và $c=-1+\dfrac{10}{3}=\dfrac{7}{3}.$
Vậy $S=a^2+b^2+c^2=\dfrac{(-2)^2+(-8)^2+7^2}{9}=13.$

$55)$ Hàm số $y=ax^2+bx+c (a \ne 0)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{1}{4}$, khi đó $a<0$ và tung độ đỉnh $=\dfrac{-b^2+4ac}{4a}=\dfrac{1}{4}$, hoành độ đỉnh $\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{3}{2}.$

Do phương trình có 2 nghiệmnên $\Delta \ge 0 \Leftrightarrow b^2-4ac \ge 0.$

Gọi $x_1, x_2$ là 2 nghiệm của phương trình, theo Viet, ta có: $x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}, x_1x_2=\dfrac{c}{a}.$

Ta có $x_1^3+x_2^3=9 \Leftrightarrow (x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=9 \Leftrightarrow \dfrac{-b^3}{a^3}+\dfrac{3bc}{a^2}=9 \Leftrightarrow -b^3+3abc=9a^3.$

Ta có hệ: $\begin{cases}\dfrac{-b^2+4ac}{4a}=\dfrac{1}{4}\\ \dfrac{-b}{2a}=\dfrac{3}{2}\\ -b^3+3abc=9a^3\end{cases}$

Ta có: $\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow b=-3a,$ khi đó thế vào 2 phương trình còn lại ta được $\begin{cases}\dfrac{-9a^2+4ac}{4a}=\dfrac{1}{4}\\ 27a^3-9a^2c=9a^3\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}-9a+4c=1\\ 2a-c=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=-1\\ c=-2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=-1\\b=3\\ c=-2\end{cases}$

Vậy $P=abc=-1\cdot3\cdot(-2)=6.$