Cho tam giác ABC và I là trung điểm của cạnh BC . Điểm G có tính chất nào sau đây là điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm tam giác ABC A. $\overrightarrow{AG}$ `+` $\overrightarrow{BG }$ `+` $\overrightarrow{CG }$ `=` $\overrightarrow{0}$ B. $\overrightarrow{GB}$ `+` $\overrightarrow{GC}$ `=` `2`$\overrightarrow{GI}$ C. `AI=3GI` D. `GA=2GI`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`G` là trọng tâm của tam giác `ABC`

`=> \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}`

`=> \vec{AG}+\vec{BG}+\vec{GC}=\vec{0}`

`=> A` sai.

Có: `\vec{GI}+\vec{IB}+\vec{GI}+\vec{IC}=\vec{GB}+\vec{GC}`

`=> 2\vec{GI}=\vec{GB}+\vec{GC}` đúng với mọi `I` là trung điểm của `BC`, không cần điều kiện `G` là trọng tâm của `\triangle ABC`

`=> B` sai.

Mặt khác, với `G` là trọng tâm của tam giác `ABC` thì: `(AG)/(AI)=2/3`

`=> AG=2/3 AI=> AG=2GI` và `AI=3GI`

Có lẽ đề câu `C,D` sẽ có vecto, khi đó đáp án đúng là `C`.

Với `\vec{AI}=3\vec{GI}` thì `A,I,G` thẳng hàng và `\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{GI}+\vec{IA}+\vec{GI}+\vec{IB}+\vec{GI}+\vec{IC}`

`=3\vec{GI}+\vec{IA}+\vec{0}`

`=\vec{0}` `=> C` đúng.