Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi D là hình chiếu của H trên AC. Lấy I, J lần lượt là trung điểm của HD, DC. (Hình 11) a) Chứng minh IJ vuông góc AH. b) Chứng minh AI vuông góc BD.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) \Delta DHC$ có $I, J$ lần lượt là trung điểm của $HD, DC$

$\Rightarrow IJ$ là đường trung bình $\Delta HDC$

$\Rightarrow IJ//HC$

$\Rightarrow IJ//BC$

Mà $AH \perp BC$

$\Rightarrow AH \perp IJ$

$b)$ Xét $\Delta AHJ$ có $I$ là giao hai đường cao $IJ$ và $HD$

$\Rightarrow I$ là trực tâm $\Delta AHJ$

$\Rightarrow AI \perp HJ$

$\Delta ABC$ cân tại $A$, đường cao $AH$

$\Rightarrow H$ là trung điểm $BC$

Xét $\Delta BDC, H, J$ lần lượt là trung điểm của $BC, DC$

$\Rightarrow HJ$ là đường trung bình $\Delta BDC$

$\Rightarrow HJ//BD$

Mà $AI \perp HJ$

$\Rightarrow AI \perp BD.$