1.Chứng minh rằng $a^{3}$- $13^{a}$ chia hết cho 6 với a thuộc Z 2.a, chứng minh rằng với mọi số nguyen n thì $n^{5}$-n chia hết cho 30 b,chứng minh rằng chữ số tận cùng của các số tự nhiên n và $n^{5}$-n là giống nhau 3.Chứng minh $n^{3}$-n chia hết cho 3

1 

S=a³−13a=a³−a−12a=a(a²−1)−12a=a(a−1)(a+1)−12a

• a(a-1)(a+1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6
• 12a chia hết cho 6
• => S chia hết cho 6 với mọi a thuộc z và a>1 đpcm                                                                          2

• Ta có: n⁵ – n = n.(n⁴ – 1) = n.(n⁴ – n² + n² – 1)

  = n.[(n⁴ – n²) + (n² – 1)]

  = n.[n²(n² – 1) + (n² – 1)]

  = n.(n² – 1).(n² + 1)

  = n.(n² – n + n – 1)(n² + 1)

  = n.[(n² – n) + (n – 1)].(n² + 1)

  = n.[n(n- 1) + (n – 1)].(n² + 1)

  = n.(n – 1).(n + 1).(n² + 1)

  Vì (n – 1); n; (n + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên n⁵ – n chia hết cho 3 (1)

  Mặt khác: n⁵ = n⁴⁺¹ có chữ số tận cùng giống chữ số tận cùng của n

  => n⁵ – n có chữ số tận cùng bằng 0.

  => n⁵ – n chia hết cho 10 (2)

• từ 1 và 2

  suy ra: n⁵ – n chia hết cho 3 và 10, (3, 10) = 1 nên suy ra: n⁵ – n chia hết cho 30 (đpcm).

• 2

• b)

  Nếu n và n⁵ có chữ số tận cùng giống nhau

  ⇒n5−n10

  Ta có:

  n5−n

  =n(n4−1)

  =n(n2−1)(n2+1)

  =n(n−1)(n+1)(n2−4+5)

  =n(n−1)(n+1)(n2−4)+5n(n−1)(n+1)

  =n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)+5n(n−1)(n+1)

  Vì n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp

  ⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)5

  Vì n(n−1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

  ⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)2

  ⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)10(1)

  Ta có: 5n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)5

  Vì n(n−1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

  ⇒5n(n−1)(n+1)2⇒5

  ⇒5n(n−1)(n+1)10(2)

  Từ (1) và (2) suy ra

  n(n+1)(n−1)(n−2)(n+2)+5n(n−1)(n+1)10

  ⇒n5−n10

  Vậy n và n⁵ có chữ số tận cùng giống nhau

• 3

• n3−n3

  n3−n=n(n2−1)=n(n+1)(n−1)

  Ta có: n(n+1)(n−1) là tích ba số nguyên liên tiếp