Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ). Gọi M là trung điểm đoạn BC. Vẽ MD vuông góc với AB tại D và ME vuông góc với AC tại E.

a) CM AM=DE

b) CM DMCE là hbh

c, Gọi AH là đường cao của tam giác ABC(HBC). CM: Tứ giác DHME là hình thang cân và A đối xứng với H qua DE

a) Xét tg ADME có:

$\widehat{ADM}$ `= 90^o` (vì $MD \bot AB$ tại D)

$\widehat{DAE}$ `= 90^o` (vì $\widehat{BAC}$ `= 90^o`)

$\widehat{AEM}$ `= 90^o` (vì $ME \bot AC$ tại E)

⇒ Tg ADME là hình chữ nhật

⇒ `AM = DE`

b) Xét ΔABC vuông tại A có: AM là trung tuyến (vì M là trung điểm đoạn BC)

$⇒ AM = \frac{1}{2} BC$ mà $BM = CM = \frac{1}{2} BC$ (vì M là trung điểm BC)

$⇒ AM = BM = CM$

⇒ ΔAMC cân tại M

Xét ΔAMC cân tại M có ME là đường cao (vì ME $\bot$ AC tại E) 

⇒ ME đồng thời là đường trung tuyến ΔAMC ⇒ E là trung điểm AC

⇒ `AE = CE` mà `AE = DM` (vì tg ADME là hình chữ nhật)

⇒ `DM = CE`

Xét tg DMCE có:

`DM = CE` (cmt)

`DM // CE` (vì `DM // AE` do tg ADME là hình chữ nhật)

⇒ Tg DMCE là hình bình hành

c) Ta có: `AM = BM` (cmt) ⇒ ΔABM cân tại M

Xét ΔABM cân tại M có: MD là đường cao (vì MD $\bot$ AB tại D)

⇒ MD đồng thời là đường trung tuyến ΔABM ⇒ D là trung điểm AB

Xét ΔABC có: 

D là trung điểm AB (cmt)

E là trung điểm AC (cmt)

⇒ DE là đường trung bình ΔABC ⇒ `DE // BC` hay `DE // HM`

Xét ΔAHC vuông tại H có: HE là đường trung tuyến (vì F là trung điểm AC)

$⇒ HE = \frac{1}{2} AC$ mà $AE = CE = \frac{1}{2} AC$ (vì E là trung điểm AC)

`⇒ AE = CE = HE`

Ta có: AE = HE (cmt) mà `AE = DM ⇒ HE = DM`

Xét tg DHME có: `DE // HM` (cmt)

⇒ Tg DMHE là hình thang mà `HE = DM` ⇒ Tg DMHE là hình thang cân

- Gọi F là gđ của DE và AH

Xét ΔABH có:

`DF // BH` (vì `DE // BC`)

D là trung điểm AB (cmt)

⇒ F là trung điểm AH mà F là gđ của DE và AH

⇒ A đối xứng với H qua DE.