Bài 8. Có bao nhiêu cặp số tự nhiên (𝑥, 𝑦) thỏa mãn 𝑥^2 + 𝑦^2 chia hết cho 7 và 𝑥 + 𝑦 < 2023. Bài 7. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 𝑛, ta luôn có: 𝐶 = 21^2𝑛+1 + 17^2𝑛+1 + 15 không chia hết cho 19 Bài 10. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên chẵn 𝑛, ta luôn có: 2^2^3n+5 chia hết cho 7 Mình đang cần gấp lắm giải đc nhưng đúng mình tích cho 5sao

Bài 8:

Chúng ta sẽ giải bài toán bằng cách phân tích các trường hợp. 

- Khi \(x^2 + y^2\) chia hết cho 7, có thể x và y chia hết cho 7 hoặc \(x^2\) chia hết cho 7, \(y^2\) chia hết cho 7.
- Xét trường hợp \(x^2\) chia hết cho 7 và \(y^2\) không chia hết cho 7 (hoặc ngược lại).
- Ta có \(x^2 + y^2\) chia hết cho 7 nên \(x\) và \(y\) không thể cùng chia hết cho 7.
- Nếu \(x\) chia hết cho 7, thì \(y\) không chia hết cho 7 và ngược lại.

Dựa vào điều kiện \(x + y < 2023\), ta sẽ giới hạn giá trị của \(x\) và \(y\).

Suy luận từ trên, có thể có 6 trường hợp chính, và mỗi trường hợp có nhiều giá trị thỏa mãn. Tổng số cặp số tự nhiên \((x, y)\) thỏa mãn là số lượng các giá trị của \(x\) nhân với số lượng các giá trị của \(y\) trong mỗi trường hợp. Tổng các số lượng này sẽ là kết quả của bài toán.

Bài 7:

Chứng minh rằng \(C = 21^{2n+1} + 17^{2n+1} + 15\) không chia hết cho 19.

- Ta có \(21^{2n+1} = 21 \times (21^2)^n\), \(17^{2n+1} = 17 \times (17^2)^n\).
- Gọi \(A = 21^2\), \(B = 17^2\), ta có \(C = 21 \times A^n + 17 \times B^n + 15\).
- Ta thấy \(A\) và \(B\) đều chia hết cho 19.

Chứng minh sự chia hết của \(C\) cho 19:

- Ta có \(21 \times A^n + 17 \times B^n + 15 \equiv 2 \times 2^n + (-2) \times (-2)^n + 15 \equiv 2 \times 2^n + 2^n + 15 \equiv 3 \times 2^n + 15 \pmod{19}\).
- Do đó, \(C\) không chia hết cho 19.

Bài 10:

Chứng minh rằng \(2^{2^{3n+5}}\) chia hết cho 7 với mọi số tự nhiên chẵn \(n\).

- Gọi \(k = 3n + 5\), ta có \(2^{2^k}\).
- Ta thấy rằng \(2^3 \equiv 1 \pmod{7}\) (do \(2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}\)).
- Do đó, \(2^{3n} \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{7}\).
- Khi \(n\) là số chẵn, \(k = 3n + 5\) là số lẻ, nên \(2^{2^k} = 2^{2^{3n+5}}\) chia hết cho 7.