Hàm số `f(x)={(ax+b+1, khi x>0),(a.cosx + b.sinx, khi x<=0):}`liên tục trên `R` khi nào?

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Ta có:
$f(x) = \begin {cases} ax + b + 1 (x > 0) \\ a\cos x + b\sin x(x \le 0) \end {cases}$

$\Rightarrow f(x)$ liên tục trên $(-\infty; 0]$

$\Rightarrow \lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = a\cos 0 + b\sin 0 = a$

$f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim \limits_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$

$\Leftrightarrow \lim\limits_{x \to 0^+} (ax + b + 1) = a$

$\Leftrightarrow b + 1 = a$

$\Leftrightarrow a - b = 1$

Vậy với $a - b = 1$ với mọi $a, b \in \mathbb{R}$ thì hàm $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$