Chứng minh rằng A=7+7^2+7^3+7^4...+7^4k (trong đó k là số nguyên dương) chia hết cho 400

Đáp án + Giải thích các bước giải:

$A = 7 + 7^2 + 7^3 + 7^4 + ... + 7^{4k}$
$= 7 + 7^2 + 7^3 + 7^4 + 7^5 + 7^6 + 7^7 +7^8 + ... + 7^{4k - 1} + 7^{4k}$

$= 7 + 7^2 + 7^3 + 7^4 + 7^4 . 7 + 7^4 . 7^2 + 7^4 . 7^3 + 7^4 . 7^4 + ... + 7^{4k - 4} . 7^3 + 7^{4k - 4} . 7^4$ 

$= 7 + 7^2 + 7^3 + 7^4 + 7^4(7 + 7^2 + 7^3 + 7^4) + ... + 7^{4k - 4}(7 + 7^2 + 7^3 + 7^4)$
$= (1 + 7^4 + 7^8 + ... + 7^{4k - 4})(7 + 7^2 + 7^3 + 7^4)$
$= (1 + 7^4 + 7^8 + ... + 7^{4k - 4})(7 + 49 + 343 + 2401)$

$= 2800(1 + 7^4 + 7^8 + ... + 7^{4k - 4})$

Ta có: $2800$ chia hết cho $400$
$\Rightarrow 2800(1 + 7^4 + 7^8 + ... + 7^{4k - 4})$ chia hết cho $400$
$\Rightarrow 7 + 7^2 + 7^3 + 7^4 + ... + 7^{4k}$ chia hết cho $400$

$\Rightarrow A$ chia hết cho $400$