cho tam giác abc nội tiếp đường tròn O đường kính bc. kẻ ah vuông góc với bc tại h. gọim,n lần lượt là hình chiếu vuông góc của h của các cạnh ab và ac. chứng minh: a) tam giác ABC là tam giác vuông và ac^2 = bc.ch b) góc AMN = góc ACB c) AC.BM+AB.CN=AH.BC

`a)` Xét `ΔABC` nội tiếp đường tròn `(O)` có đường kính là `BC`

`=>ΔABC` vuông tại `A`

   Áp dụng hệt hức lượng vào `ΔABC` vuông tại `A` , đường cao `AH` ta có:

        `AC^2 =BC.CH`

`b)` Áp dụng hệ thức lượng vào `ΔAHB` vuông tại `H`, đường cao `HM` ta có:

        `AH^2=AM.AB (1)`

      Áp dụng hệ thức lượng vào `ΔAHC` vuông tại `H`, đường cao `HN` ta có:

        `AH^2 = AN.AC (2)`

Từ `(1)` và `(2) => AM.AB=AN.AC`

`=> (AM)/(AN)=(AC)/(AB)`

Xét `ΔAMN` và `ΔACB` có:

    `(AM)/(AN)=(AC)/(AB)`

    `hat{BAC}`

`=> ΔAMN ~ ΔACB (g.g)`

`=> hat{AMN}=hat{ACB}`

`c)` Do `MH`//`AC (⊥AB)`

`=> ΔBMH ~ ΔBAC`

`=> BM.AC=MH.AB (3)`

Chứng minh tương tự ta có :  `CN.AB=AC.NH (4)`

Từ `(3)` và `(4) => BM.AC+CN.AB=MH.AB+AC.NH (5)`

Áp dụng hệ thức lượng vào`ΔAHB` vuông tại `H`, đường cao `HM` ta có:

   `AH.HB=HM.AB (6)`

Áp dụng hệ thức lượng vào `ΔAHC` vuông tại `H`, đường cao `HN` ta có:

   `AH.HC=HN.AC (7)`

Từ `(5),(6), (7)`

`=> BM.AC+CN.AB=AH.HB+AH.HC`

                            `= AH.(HB+HC)`

                            `= AH.BC (đpcm)`