cho x;y>0 thỏa mãn `x/(1+x)+(2y)/(1+y)=1` tính lớn nhấtnhất của P=xy^2

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`x/(1+x) + 2y/(1+y) = 1`

Từ `x/(1+x) + 2y/(1+y) = 1`,

ta có: `1 - 1/(1+x) + 2(1 - 1/(1+y)) = 1 `

`1 - 1/(1+x) + 2 - 2/(1+y) = 1`

`3 - 1/(1+x) - 2/(1+y) = 1`

`2 = 1/(1+x) + 2/(1+y)`

Đặt `a = 1/(1+x)` và `b = 1/(1+y).` Khi đó `0 < a < 1` và `0 < b < 1`.

`x = 1/a - 1 = (1-a)/a`

`y = 1/b - 1 = (1-b)/b`

Phương trình ban đầu trở thành:

`(1-a) + 2(1-b) = 1`

`1 - a + 2 - 2b = 1 `

`3 - a - 2b = 1 `

`a + 2b = 2`

Ta có `a + 2b = 2`.

Ta cần tìm `GTLN` của `P = xy^2.`

`P = ((1-a)/a) * ((1-b)/b)^2`

`P = (1-a)/a * (1-b)^2 / b^2 `

Từ `a = 2 - 2b`, thay vào `P`:

`P = (1 - (2 - 2b)) / (2 - 2b) * (1-b)^2 / b^2 P `

`= (-1 + 2b) / (2(1-b)) * (1-b)^2 / b^2 `

`P = (2b - 1) * (1-b) / (2b^2)`

Điều kiện: `a = 2 - 2b > 0 => 2b < 2 => b < 1`. Và từ `x > 0, y > 0`:

`x = (1-a)/a > 0 => 1-a > 0 => a < 1.`

`y = (1-b)/b > 0 => 1-b > 0 => b < 1. `

Cũng từ `x = (1-a)/a, `nếu `1-a > 0` thì `a < 1`. Nếu `x >` 0 thì `1+x > 1,` suy ra

`1/(1+x) < 1.` Vậy `a < 1`.

Nếu `y > 0` thì `1+y > 1,` suy ra `1/(1+y) < 1.`

Vậy `b < 1`.

Cũng từ `a = 1/(1+x) > 0`.

Từ `2/(1+y) > 0.`

Từ `a + 2b = 2:`

`a > 0 => 2 - 2b > 0 => b < 1`.

`2b > 0 => b > 0. `

Vậy `0 < b < 1.`

  Ta có

`P = (2b - 1)(1-b) / (2b^2) `

`= (2b - 2b^2 - 1 + b) / (2b^2) `

`= (-2b^2 + 3b - 1) / (2b^2) `

`P = -1 + 3/(2b) - 1/(2b^2)`

  Đặt `u = 1/b.` Vì `0 < b < 1`, suy ra `u > 1.`

`P = -1 + (3/2)u - (1/2)u^2 `

`P = -(1/2)u^2 + (3/2)u - 1 `

`u = - (3/2) / (2 * (-1/2)) = (3/2) / 1 = 3/2. `

Vì` u = 3/2` thỏa mãn `u > 1`, đây là `GTLN`.

Khi `u = 3/2:`

`b = 1/u = 1/(3/2) = 2/3. `

`a = 2 - 2b = 2 - 2 * (2/3) = 2 - 4/3 = 2/3.`

Khi `a = 2/3, b = 2/3:`

`x = (1-a)/a = (1 - 2/3) / (2/3) `

`= (1/3) / (2/3) `

`= 1/2. y `

`= (1-b)/b `

`= (1 - 2/3) / (2/3) `

`= (1/3) / (2/3) `

`= 1/2. `

GTLN của `P`

` P = x * y^2 = (1/2) * (1/2)^2 = (1/2) * (1/4) = 1/8. `