Xét tính tăng, giảm và bị chặn trong dãy sau: `U_n = (2n-1)/(n+3)`

$\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} = \dfrac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 3}} = \dfrac{{2n + 1}}{{n + 4}}\\
{u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{2n + 1}}{{n + 4}} - \dfrac{{2n - 1}}{{n + 3}}\\
 = \dfrac{{2{n^2} + 6n + n + 3 - \left( {2{n^2} + 8n - n - 4} \right)}}{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)}}\\
 = \dfrac{7}{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)}} > 0\\
 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}
\end{array}$

Đây là dãy tăng

$\begin{array}{l}
{u_n} = \dfrac{{2n - 1}}{{n + 3}} = \dfrac{{2\left( {n + 3} \right) - 7}}{{n + 3}} = 2 - \dfrac{7}{{n + 3}}\\
\dfrac{7}{{n + 3}} > 0 \Rightarrow 2 - \dfrac{7}{{n + 3}} > 2\\
\dfrac{7}{{n + 3}} < 1 \Rightarrow {u_n} > 1\\
 \Rightarrow 1 < {u_n} < 2
\end{array}$

 Vậy $u_n$ là dãy tăng và bị chặn.